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若函数f(x)同时满足:①对于定义域上的任意x,恒有f(x)+f(-x)=0;②对于定义域上的任意x1,x2,当x1≠x2时,恒有f(x1)-(x2)x1-x2<0,则称函数f(x)为“理想函数”.给出下列四个函数中:(1)f(x)=x+1;(2)f(x)=x2;(3)f(x)=-x;(4)f(x)={-x2,x≥0x2,x<0,能被称为“理想函数”的有 (填相应的序号).试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
若函数f(x)同时满足:①对于定义域上的任意x,恒有f(x)+f(-x)=0;②对于定义域上的任意x
1
,x
2
,当x
1
≠x
2
时,恒有
f(x
1
)-(x
2
)
x
1
-x
2
<0,则称函数f(x)为“理想函数”.
给出下列四个函数中:
(1)f(x)=x+1;
(2)f(x)=x
2
;
(3)f(x)=-x;
(4)f(x)=
{
-x
2
,x≥0
x
2
,x<0
,
能被称为“理想函数”的有
(填相应的序号).
试题解答
③④
解:若f(x)是“理想函数”,则满足以下两条:
①对于定义域上的任意x,恒有f(x)+f(-x)=0,即f(-x)=-f(x),表明函数f(x)是奇函数;
②对于定义域上的任意x
1
,x
2
,当x
1
≠x
2
时,恒有
f(x
1
)-(x
2
)
x
1
-x
2
<0,即(x
1
-x
2
)(f(x
1
)-f(x
2
))<0,∴x
1
-x
2
与f(x
1
)-f(x
2
)异号,即函数f(x)是单调递减函数.即f(x)为定义域上的单调递减的奇函数.
据此可判断出:
(1)由f(x)=x+1单调递增,因此不是“理想函数”;
(2)f(x)=x
2
不是奇函数,因此不是“理想函数”;
(3)f(x)=-x,在R上既是奇函数,又是单调递减函数,因此是“理想函数”;
(4)f(x)=
{
-x
2
,x≥0
x
2
,x<0
,在R上既是奇函数,又是单调递减函数,因此是“理想函数”.
综上可知:能被称为“理想函数”的只有(3)(4).
故答案为:(3)(4).
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集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;集合的相等;元素与集合关系的判断;子集与真子集
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