设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2．若对任意的x∈[t，t+1]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，则实数t的取值范围是（）试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x²．若对任意的x∈[t，t+1]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，则实数t的取值范围是（　　）

试题解答

解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0 时，f（x）=x²
∴当x＜0，有-x＞0，f（-x）=（-x）²，
∴-f（x）=x²，即f（x）=-x²，
∴f（x）=

{	x²，(x≥0) -x²，(x＜0)

；
又对任意的x∈[t，t+1]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，
∴当t+1＜0，即t＜-1，2t≤x+t≤2t+1＜-1，此时有：-（x+t）²≥-2x²①恒成立，x∈[t，t+1]．
①变形为：x²-2tx-t²≥0恒成立，x∈[t，t+1]．
令g（x）=x²-2tx-t²，其对称轴x=t，g（x）在[t，t+1]单调递增，g（x）_min=g（t）=-2t²＜0，故t＜-1，不满足题意；
当t＞0，0＜2t≤x+t≤2t+1，由任意的x∈[t，t+1]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，可得：（x+t）²≥2x²②，x∈[t，t+1]；
②变形为：x²-2tx-t²≤0恒成立，x∈[t，t+1]；令g（x）=x²-2tx-t²，其对称轴x=t，g（x）在[t，t+1]单调递增，要使x²-2tx-t²≤0恒成立，x∈[t，t+1]；只需
g（x）_max=g（t+1）=（t+1）²-2t（t+1）-t²≤0，即1-2t²≤0，
解得：t≥

√2

．
综上所述：t≥

√2

．
故选A．

标签

必修1 人教A版单选题高中数学

设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2．若对任意的x∈[t，t+1]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，则实数t的取值范围是（ ）试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

试题解答

集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;集合的相等;元素与集合关系的判断;子集与真子集相关试题

设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2．若对任意的x∈[t，t+1]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，则实数t的取值范围是（）试题及答案-单选题-云返教育