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  • 已知函数f(x)=px2+2q-3x是奇函数，且f(2)=-53．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）用定义证明函数f（x）在（0，1）上的单调性．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f(x)=
      px2+2
      q-3x
      是奇函数，且f(2)=-
      5
      3
      ．
      （Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
      （Ⅱ）用定义证明函数f（x）在（0，1）上的单调性．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）因为f（x）是奇函数，所以对定义域内的任意x，都有∴f（-x）=-f（x），
      即
      px2+2
      q+3x
      =-
      px2+2
      q-3x
      （2分）
      整理得q+3x=-q+3x，所以q=0．又因为f(2)=-
      5
      3
      ，
      所以f(2)=
      4p+2
      -6
      =-
      5
      3
      ，解得p=2．
      故所求解析式为f(x)=
      2x2+2
      -3x
      ．（6分）
      （Ⅱ）由（1）得f(x)=
      2x2+2
      -3x
      =-
      2
      3
      (x+
      1
      x
      )．
      设0＜x      1＜x2＜1，则f(x1)-f(x2)=
      2
      3
      [(x2+
      1
      x2
      )-(x1+
      1
      x1
      )]═
      2
      3
      (x1-x2)×
      1-x1x2
      x1x2
      ．（10分）
      因为0＜x      1＜x2＜1，所以0＜x1x2＜1，x1-x2＜0，1-x1x2＞0，
      从而得到f（x      1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．
      所以函数f（x）在（0，1）上是增函数．（14分）
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