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  • 设函数f（x）=x|x-a|+b（1）求证：f（x）为奇函数的充要条件是a2+b2=0．（2）设常数b＜2√2-3，且对任意x∈[0，1]，f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      设函数f（x）=x|x-a|+b
      （1）求证：f（x）为奇函数的充要条件是a      2+b2=0．
      （2）设常数b＜2
      √2
      -3，且对任意x∈[0，1]，f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）充分性：若a2+b2=0∴a=b=0
      ∴f（x）=x|x|对任意的x∈R都有f（-x）+f（x）=0
      ∴f（x）为奇函数，故充分性成立．（2分）
      必要性：若f（x）为奇函数
      则对任意的x∈R都有f（-x）+f（x）=0恒成立，
      即-x|-x-a|+b+x|x-a|+b=0
      令x=0，得b=0；令x=a，得a=0．∴a      2+b2=0（6分）

      （2）由b＜2
      √2
      -3＜0，当x=0时a取任意实数不等式恒成立
      当0＜x≤1时f（x）＜0恒成立，也即x+
      b
      x
      ＜a＜x-
      b
      x
      恒成立
      令g（x）=x+
      b
      x
      在0＜x≤1上单调递增，∴a＞gmax（x）=g（1）=1+b（10分）
      令h（x）=x-
      b
      x
      ，则h（x）在（0，
      √-b
      ]上单调递减，[
      √-b
      ，+∞）单调递增
      1°当b＜-1时h（x）=x-
      b
      x
      在0＜x≤1上单调递减
      ∴a＜h      min（x）=h（1）=1-b．∴1+b＜a＜1-b．（12分）
      2°当-1≤b＜2
      √2
      -3时，h（x）=x-
      b
      x
      ≥2
      √-b
      ，
      ∴a＜h      min（x）=2
      √-b
      ，∴1+b＜a＜2
      √-b
      ．（14分）
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      必修1人教A版单选题高中数学

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