已知函数f(x)=a×2x-11+2x(a∈R)．（I）若a=2，且f(x)=-3√2-22，求x的值；（II）若f（x）为奇函数，求a的值；（III）当a=5时，函数f（x）的图象是否存在对称中心，若存在，求其对称中心；若不存在，请说明理由．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数f(x)=

a×2^x-1

1+2^x

(a∈R)．
（I）若a=2，且f(x)=-

√2

-2

，求x的值；
（II）若f（x）为奇函数，求a的值；
（III）当a=5时，函数f（x）的图象是否存在对称中心，若存在，求其对称中心；若不存在，请说明理由．

试题解答

见解析

解：（I）若a=2，则f(x)=

2×2^x-1

1+2^x

2×(2^x+1)-3

1+2^x

=2-

1+2^x

≥2-

=-1，
由于-

√2

-2

＜-1，故方程由f(x)=

2×2^x-1

1+2^x

√2

-2

无实数解．
（II）由题意知，函数的定义域是R，
∵f（x）为奇函数，∴f（x）=-f（-x），
即

a×2^x-1

1+2^x

a×2^-x-1

1+2^-x

，即

a×2^x-1

1+2^x

a-2^x

1+2^x

，
解得a=1．
（III）当a=5时，f(x)=

5×2^x-1

1+2^x

．
假设函数f（x）的图象是否存在对称中心，设其坐标为（h，k），
则对任意x∈R，有f（h+x）+f（h-x）=2k恒成立，
即

5×2^x+h-1

1+2^x+h

5×2^h-x-1

1+2^h-x

=2k，
整理得，

{	4-2k=0 (10-2k)×2^2h-2-2k=0

，
解得

{

h=0

k=2

，
当a=5时，函数f（x）的图象存在对称中心，其对称中心为（0，2）．

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必修1 人教A版单选题高中数学

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