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  • 已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=-7xx2+x+1．（1）求x＜0时，f（x）的解析式；（2）试确定函数y=f（x）（x≥0）单调区间，并证明你的结论．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=-
      7x
      x2+x+1
      ．
      （1）求x＜0时，f（x）的解析式；
      （2）试确定函数y=f（x）（x≥0）单调区间，并证明你的结论．

      试题解答

      见解析
      解：（1）若x＜0则-x＞0，∵f（x）是偶函数，
      ∴f(x)=f(-x)=
      -7(-x)
      (-x)2+(-x)+1
      =
      7x
      x2-x+1

      （2）设x      1，x2是区间[0，+∞）上任意两个实数，且0≤x1＜x2，则f（x1）-f（x2）f(x1)-f(x2)=
      -7x1
      x
      2
      1
      +x1+1
      -
      -7x2
      x
      2
      2
      +x2+1
      =
      7(x1-x2)(x1x2-1)
      (x
      2
      1
      +x1+1)(x
      2
      2
      +x2+1)

      当0≤x      1＜x2≤1时，x1-x2＜0，x1x2-1＜0而x12+x1+1＞0及x22+x2+1＞0，
      ∴f（x      1）-f（x2）＞0即f（x）在[0，1]上为减函数．
      同理当1＜x      1＜x2时，f（x1）-f（x2）＜0，即f（x）在（1，+∞）上为增函数
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