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  • 设f（x）=ax2+bx+1x+c（a＞0）为奇函数，且|f（x）|min=2√2，数列{an}与{bn}满足如下关系：a1=2，an+1=f(an)-an2，bn=an-1an+1．（1）求f（x）的解析表达式；（2）证明：当n∈N+时，有bn≤(13)n．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      设f（x）=
      ax2+bx+1
      x+c
      （a＞0）为奇函数，且|f（x）|min=2
      √2
      ，数列{an}与{bn}满足如下关系：a1=2，an+1=
      f(an)-an
      2
      ，bn=
      an-1
      an+1
      ．
      （1）求f（x）的解析表达式；
      （2）证明：当n∈N      +时，有bn≤(
      1
      3
      )n．

      试题解答

      见解析
      解：由f（x）是奇函数，得b=c=0，
      由|f（x）      min|=2
      √2
      ，得a=2，故f（x）=
      2x2+1
      x

      （2）      an+1=
      f(an)-an
      2
      =
      2a
      2
      n
      +1
      a
      n
      -an
      2
      =
      a
      2
      n
      +1
      2an
      ，
      bn+1=
      an+1-1
      an+1+1
      =
      a
      2
      n
      +1
      2an
      -1
      a
      2
      n
      +1
      2an
      +1
      =
      a
      2
      n
      -2an+1
      a
      2
      n
      +2an+1
      =(
      an-1
      an+1
      )2=bn2
      ∴b      n=bn-12=bn-24═b
      2n-1
      1
      ，而b1=
      1
      3

      ∴b      n=(
      1
      3
      )2n-1
      当n=1时，b      1=
      1
      3
      ，命题成立，
      当n≥2时∵2      n-1=（1+1）n-1=1+Cn-11+Cn-12++Cn-1n-1≥1+Cn-11=n
      ∴(
      1
      3
      )2n-1＜(
      1
      3
      )n，即bn≤(
      1
      3
      )n．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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