已知函数f（x）=12-12x+1．（1）证明函数f（x）是奇函数；（2）证明函数f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；（3）若f（b-2）+f（2b-2）＞0，求实数b的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数f（x）=

2^x+1

．
（1）证明函数f（x）是奇函数；
（2）证明函数f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；
（3）若f（b-2）+f（2b-2）＞0，求实数b的取值范围．

见解析

解：（1）证明：由函数f（x）=

2^x+1

，可得它的定义域为R，关于原点对称，
且f（-x）=

2^-x+1

2^x

1+2^x

-（

1+2^x-1

1+2^x

）=-

1+2^x

=-f（x），
故函数f（x）为奇函数．
（2）任意取x₁＜x₂，由于f（x₁）-f（x₂）=（

2^x₁+1

）-（

2^x₂+1

）
=

2^x₂+1

2^x₁+1

2^x₁-2^x₂

( 2 ^x₁+1)(2^x₂+1)

由题设可得2^x₁＜2^x₂，（2^x₁+1）＞0，（2^x₂+1）＞0，
∴

2^x₁-2^x₂

( 2 ^x₁+1)(2^x₂+1)

＜0，∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴函数f（x）在（-∞，+∞）上是增函数．
由（3）f（b-2）+f（2b-2）＞0，可得 f（b-2）＞f（2-2b），
∴b-2＞2-2b，解得 b＞

，即实数b的取值范围为（

，+∞）．

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