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已知定义在R上的奇函数,f(x)当x>0时,f(x)=lnx-ax+1(a∈R).(1)求函数f(x)的解析式;(2)当a>2e时,若函数y=f(x)在R上恰有5个零点,求实数a的取值范围.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
已知定义在R上的奇函数,f(x)当x>0时,f(x)=lnx-ax+1(a∈R).
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)当a>
2
e
时,若函数y=f(x)在R上恰有5个零点,求实数a的取值范围.
试题解答
见解析
解:(1)因为f(x)是奇函数,且定义域为R
则f(0)=0,
设x<0,则-x>0,f(x)=-f(-x)=-ln(-x)-ax-1
则f(x)=
{
lnx-ax+1 x>0
0 x=0
-ln(-x)-ax-1 x<0
(2)因为函数是奇函数,f(0)=0,则除0外还有两正数零点和两负数零点,且关于原点对称,
则只要使方程f(x)=0在(0,+∞)恰有两个???等实数根即可.
当x>0时,f′(x)=
1
x
-a,
①若a≤0时,f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)递增,不合;
②若a>0时,令f′(x)=
1
x
-a=0得x=
1
a
,
则f(x)在(0,
1
a
)上递增,在(
1
a
,+∞)上递减,
要使方程f(x)=0在(0,+∞)恰有两个不等实数根,
则f(
1
a
)=-lna>0?a∈(0,1)
又因为x→0时,f(x)→-∞,
或f(
1
a+e
)=ln
1
a+e
-
a
a+e
+1<ln
1
e
+1-
a
a+e
=-
a
a+e
<0,
且f(
2
a
)=ln
2
a
-2+1=ln
2
a
-1<lne-1=0(a>
2
e
),
则f(
1
a
)f(
1
a+e
)<0,f(
1
a
)f(
2
a
)<0,
故当a∈(
2
e
,1)时满足题意.
另解:当x>0时,
设a=
lnx+1
x
(x>0)=g(x),g′(x)=-
lnx
x
=0?x=1,
又g(x)在(0,1)上递增,在(1,+∞)上递减,
且x→0,g(x)→-∞;x→+∞,g(x)→0,g(x)≤1,
再作出函数的草图可得,0<a<1,又a>
2
e
,
故当a∈(
2
e
,1)时满足题意.
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