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已知函数g(x)=-(12)x2的值域为A,定义在A上的函数f(x)=x-2-x2(x∈A).(1)求集合A,并判断函数f(x)的奇偶性;(2)判断函数f(x)的单调性,并用单调性定义证明;(3)解不等式f(3x+1)<f(5x+1).试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
已知函数g(x)=-
(
1
2
)
x
2
的值域为A,定义在A上的函数f(x)=x
-2
-x
2
(x∈A).
(1)求集合A,并判断函数f(x)的奇偶性;
(2)判断函数f(x)的单调性,并用单调性定义证明;
(3)解不等式f(3x+1)<f(5x+1).
试题解答
见解析
解:(1)∵x
2
>0,
∴0<
(
1
2
)
x
2
<1,-1<-
(
1
2
)
x
2
<0,
即A={x|-1<x<0}.
∵函数f(x)=x
-2
-x
2
(x∈A),而A={x|-1<x<0},不关于原点对称,
∴f(x)是非奇非偶函数;
(2)证明:设-1<x
1
<x
2
<0,
f(x
1
)-f(x
2
)=
1
x
1
2
-
x
1
2
-(
1
x
2
2
-
x
2
2
)=
x
2
2
-
x
1
2
x
1
2
x
2
2
+(
x
2
2
-
x
1
2
)
=(
x
2
2
-
x
1
2
)(1+
1
x
1
2
x
2
2
).
∵-1<x
1
<x
2
<0,
∴
x
1
2
>
x
2
2
,
1
x
1
2
x
2
2
>0,
∴(
x
2
2
-
x
1
2
)(1+
1
x
1
2
x
2
2
)<0.
∴f(x
1
)-f(x
2
)<0,即f(x
1
)<f(x
2
).
∴f(x)在(-1,0)上是增函数.
(3)∵f(3x+1)<f(5x+1),
∴
{
-1<3x+1<0
-1<5x+1<0
3x+1<5x+1
解得:x∈?.
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