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  • 设g（x）=2x+1x，x∈[14，4]．（1）求g（x）的单调区间；（简单说明理由，不必严格证明）（2）证明g（x）的最小值为g（√22）；（3）设已知函数f（x）（x∈[a，b]），定义：f1（x）=min{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]），f2（x）=max{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]．其中，min{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最小值，max{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最大值．例如：f（x）=sinx，x∈[-π2，π2]，则f1（x）=-1，x∈[-π2，π2]，f2（x）=sinx，x∈[-π2，π2]，设φ（x）=g(x)+g(2x)2+|g(x)-g(2x)|2，不等式p≤φ1（x）-φ2（x）≤m恒成立，求p、m的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      设g（x）=2x+
      1
      x
      ，x∈[
      1
      4
      ，4]．
      （1）求g（x）的单调区间；（简单说明理由，不必严格证明）
      （2）证明g（x）的最小值为g（
      √2
      2
      ）；
      （3）设已知函数f（x）（x∈[a，b]），定义：f      1（x）=min{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]），f2（x）=max{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]．其中，min{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最小值，max{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最大值．例如：f（x）=sinx，x∈[-
      π
      2
      ，
      π
      2
      ]，则f1（x）=-1，x∈[-
      π
      2
      ，
      π
      2
      ]，f2（x）=sinx，x∈[-
      π
      2
      ，
      π
      2
      ]，设φ（x）=
      g(x)+g(2x)
      2
      +
      |g(x)-g(2x)|
      2
      ，不等式p≤φ1（x）-φ2（x）≤m恒成立，求p、m的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵g（x）=2x+
      1
      x
      为奇函数．奇函数在对称区间单调性相同，
      g（x）在x∈[
      1
      4
      ，
      √2
      2
      ]上递减，g（x）在x∈[
      √2
      2
      ，4]上递增；
      （2）用最值的定义证明：
      g（x）在x∈[
      1
      4
      ，
      √2
      2
      ]上递减，
      对任意x∈[
      1
      4
      ，
      √2
      2
      ]，都有g（
      1
      4
      ）≥g（x）≥g（
      √2
      2
      ）；
      g（x）在x∈[
      √2
      2
      ，4]上递增，对任意x∈[
      √2
      2
      ，4]，都有g（4）≥g（x）≥g（
      √2
      2
      ）．
      综上，g（x）的最小值为g（
      ???2
      2
      ）．
      （3）先求定义域x∈[
      1
      4
      ，2]．
      φ（x）=
      g(x)+g(2x)
      2
      +
      |g(x)-g(2x)|
      2
      =
      {
      g(x)，x∈[
      1
      4
      ，
      1
      2
      )
      g(2x)，x∈[
      1
      2
      ，2]
      ，
      φ      1（x）=
      {
      3，x∈[
      1
      2
      ，2]
      2x+
      1
      x
      ，x∈[
      1
      4
      ，
      1
      2
      )
      ，）=
      {
      9
      2
      ，x∈[
      1
      4
      ，1)
      4x+
      1
      2x
      ，x∈[1，2]
      ，
      φ      1（x）-φ2（x）=
      {
      2x+
      1
      x
      -
      9
      2
      ，x∈[
      1
      4
      ，
      1
      2
      )
      -
      3
      2
      ，x∈[
      1
      2
      ，1)
      3-4x-
      1
      2x
      ，x∈[1，2]
      ，
      由题设条件可得φ      1（x）-φ2（x）的最小值为-5.25．
      φ      1（x）-φ2（x的最大值为0，
      ∴p≤-5.25，m≥0．
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