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已知定义域为R的函数f(x)=-2x+a2x+1+b是奇函数.(1)求a,b的值;(2)判断f(x)的单调性;(3)若对任意的x∈R,不等式f(mx2+x-3)+f(x2-mx+3m)>0恒成立,求m的取值范围.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
已知定义域为R的函数f(x)=
-2
x
+a
2
x+1
+b
是奇函数.
(1)求a,b的值;
(2)判断f(x)的单调性;
(3)若对任意的x∈R,不等式f(mx
2
+x-3)+f(x
2
-mx+3m)>0恒成立,求m的取值范围.
试题解答
见解析
解:(1)∵f(x)=
-2
x
+a
2
x+1
+b
是R上的奇函数,f(0)=0,
即
a-1
b+2
=0,解得a=1.
∴f(x)=
-2
x
+1
2
x+1
+b
,
又f(-1)=-f(1),
∴
1-2
b+4
=-
1-
1
2
b+1
,∴b=2,经检验符合题意.
∴a=1,b=2.
(2)由???1)可知f(x)=
-2
x
+1
2
x+1
+2
=-
1
2
+
1
2
x
+1
,
设x
1
<x
2
,f(x
1
)-f(x
2
)=
2
x
2
-2
x
1
(2
x
1
+1)(2
x
2
+1)
,
∵y=2
x
在R单调递增,∴
2
x
2
>2
x
1
>0,
∴f(x
1
)>f(x
2
),
即f(x)在(-∞,+∞)上为减函数.
(3)∵f(x)在(-∞,+∞)上为减函数,且为奇函数,
∴原???等式等价为f(mx
2
+x-3)>-f(x
2
-mx+3m)=f(-x
2
+mx-3m),
∴(m+1)x
2
+(1-m)x+3(m-1)<0
①m=-1时,不等式2x-6<0,即x<3,不符合题意.
②m≠-1时,要使不等式恒成立,则
{
m+1<0
△<0
,解得m<-
13
11
.
综上,m<-
13
11
.
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单选题
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数学
集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;集合的相等;元素与集合关系的判断;子集与真子集
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第1章 集合
1.1 集合的含义与表示
集合的表示法
集合的分类
集合的含义
集合的确定性、互异性、无序性
元素与集合关系的判断
第3章 指数函数和对数函数
3.1 正整数指数函数
正整数指数函数
第4章 函数应用
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二分法求方程的近似解
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函数的零点与方程根的关系
函数零点的判定定理
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