已知函数f（x）=ax3+（a-1）x2+48（a-2）x+b的图象关于原点成中心对称，试判断f（x）在区间[-4，4]上的单调性，并证明你的结论．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数f（x）=ax³+（a-1）x²+48（a-2）x+b的图象关于原点成中心对称，试判断f（x）在区间[-4，4]上的单调性，并证明你的结论．

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见解析

解：f（x）在[-4，4]上是单调递减函数．
证明如下：函数f（x）的图象关于原点成中心对称，
则f（x）是奇函数，即f（-x）=-f（x）对于任意x的成立，
则有a（-x）³+（a-1）（-x）²+48（a-2）（-x）x+b=-[ax³+（a-1）x²+48（a-2）x+b]
必有a-1=0，b=0，
即a=1，b=0，
于是f（x）=x³-48x．
∴f′x=3x²-48，
∴当x∈(-4，4)∴f′x＜0，
所以f（x）在[-4，4]上是单调递减函数．

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已知函数f（x）=ax3+（a-1）x2+48（a-2）x+b的图象关于原点成中心对称，试判断f（x）在区间[-4，4]上的单调性，并证明你的结论．试题及答案-单选题-云返教育

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