已知函数f（x）=ln（ex+a）（a为常数）是实数集R上的奇函数，函数g（x）=λf（x）+sinx（λ≤-1）是区间[-1，1]上的减函数，（1）求a的值．（2）若g（x）≤t2-λt+1在x∈[-1，1]上恒成立，求t的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数f（x）=ln（e^x+a）（a为常数）是实数集R上的奇函数，函数g（x）=λf（x）+sinx（λ≤-1）是区间[-1，1]上的减函数，（1）求a的值．（2）若g（x）≤t²-λt+1在x∈[-1，1]上恒成立，求t的取值范围．

试题解答

见解析

解：（1）f（x）=ln（e^x+a）是奇函数，
则ln（e^x+a）=-ln（e^x+a）恒成立（2分）
∴（e^x+a）ln（e^x+a）=1
1+ae^-x+ae^x+a²=1∴a（e^x+e^-x+a）=0∴a=0（4分）
（2）又∵g（x）在[-1，1]上单调递减，
∴g（x）_max=g（-1）=-λ-sin1（6分）
∴只需-λ-sin1≤t²-λt+1，（8分）
∴（1-t）λ+t²+sin1+1≥0（其中λ≤-1恒成立．
令h（λ）=（1-t）λ+t²+sin1+1（λ≤-1）
则

{	1-t≤0 t-1+t²+sin1+1≥0

（11分）
∴

{	t≥1 t²+t+sin1≥0

而t²+t+sin1≥0恒成立
∴t≥1（13分）

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必修1 人教A版单选题高中数学

已知函数f（x）=ln（ex+a）（a为常数）是实数集R上的奇函数，函数g（x）=λf（x）+sinx（λ≤-1）是区间[-1，1]上的减函数，（1）求a的值．（2）若g（x）≤t2-λt+1在x∈[-1，1]上恒成立，求t的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

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