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  • 已知函数f（x）=|x-a|，g（x）=ax，（a∈R）．（1）若函数y=f（x）是偶函数，求出符合条件的实数a的值；（2）若方程f（x）=g（x）有两解，求出实数a的取值范围；（3）若a＞0，记F（x）=g（x）?f（x），试求函数y=F（x）在区间[1，2]上的最大值．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=|x-a|，g（x）=ax，（a∈R）．
      （1）若函数y=f（x）是偶函数，求出符合条件的实数a的值；
      （2）若方程f（x）=g（x）有两解，求出实数a的取值范围；
      （3）若a＞0，记F（x）=g（x）?f（x），试求函数y=F（x）在区间[1，2]上的最大值．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵函数f（x）=|x-a|为偶函数，
      ∴对任意的实数x，f（-x）=f（x）成立
      即|-x-a|=|x-a|，
      ∴x+a=x-a恒成立，或x+a=a-x恒成立
      ∵x+a=a-x不能恒成立
      ∴x+a=x-a恒成立，得a=0．…（4分）
      （2）当a＞0时，|x-a|-ax=0有两解，
      等价于方程（x-a）      2-a2x2=0在（0，+∞）上有两解，
      即（a      2-1）x2+2ax-a2=0在（0，+∞）上有两解，…（6分）
      令h（x）=（a      2-1）x2+2ax-a2，
      因为h（0）=-a      2＜0，所以
      {
      a2-1＜0
      a
      1-a2
      ＞0
      △=4a2+4a2(a2-1)＞0
      ，故0＜a＜1；…（8分）
      同理，当a＜0时，得到-1＜a＜0；
      当a=0时，f（x）=|x|=0=g（x），显然不合题意，舍去．
      综上可知实数a的取值范围是（-1，0）∪（0，1）．…（10分）
      （3）令F（x）=f（x）?g（x）
      ①当0＜a≤1时，则F（x）=a（x      2-ax），
      对称轴x=
      a
      2
      ∈(0，
      1
      2
      ]，函数在[1，2]上是增函数，
      所以此时函数y=F（x）的最大值为4a-2a      2．
      ②当1＜a≤2时，F(x)=
      {
      -a(x2-ax)，1＜x≤a
      a(x2-ax)，a＜x≤2
      ，对称轴x=
      a
      2
      ∈(
      1
      2
      ，1]，
      所以函数y=F（x）在（1，a]上是减函数，在[a，2]上是增函数，F（1）=a      2-a，F（2）=4a-2a2，
      1）若F（1）＜F（2），即1＜a＜
      5
      3
      ，此时函数y=F（x）的最大值为4a-2a2；
      2）若F（1）≥F（2），即
      5
      3
      ≤a≤2，此时函数y=F（x）的最大值为a2-a．
      ③当2＜a≤4时，F（x）=-a（x      2-ax）对称轴x=
      a
      2
      ∈(1，2]，
      此时F(x)      max=F(
      a
      2
      )=
      a3
      4
      ，
      ④当a＞4时，对称轴x=
      a
      2
      ∈(2，+∞)，此时F(x)max=F(2)=2a2-4a．
      综上可知，函数y=F（x）在区间[1，2]上的最大值[F(x)]      max=
      {
      4a-2a2，0＜a＜
      5
      3
      a2-a，
      5
      3
      ≤a≤2
      a3
      4
      ，2＜a≤4
      2a2-4a，a＞4.
      …（16分）
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