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年级：: 全部; 高一; 高二; 高三

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设函数f(x)=a?2x-11+2x是实数集R上的奇函数．（1）求实数a的值；（2）判断f（x）在R上的单调性并加以证明；（3）求函数f（x）的值域．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

设函数f(x)=

a?2^x-1

1+2^x

是实数集R上的奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）判断f（x）在R上的单调性并加以证明；
（3）求函数f（x）的值域．

试题解答

见解析

解：（1）∵f（x）是R上的奇函数
∴f（-x）=-f（x），
即

a?2^-x-1

1+2^-x

a?2^x-1

1+2^x

，即

a-2^x

1+2^x

1-a?2^x

1+2^x

即（a-1）（2^x+1）=0
∴a=1
（或者∵f（x）是R上的奇函数∴f（-0）=-f（0），∴f（0）=0．∴

a?2⁰-1

1+2⁰

=0．，解得a=1，然后经检验满足要求．）
（2）由（1）得f(x)=

2^x-1

2^x+1

=1-

2^x+1

设x₁＜x₂∈R，则f（x₁）-f（x₂）=（1-

2^x₁+1

）-（1-

2^x₂+1

）
=

2^x₂+1

2^x₁+1

2(2^x₁-2^x₂)

(2^x₁+1)(2^x₂+1)

，
∵x₁＜x₂∴2^x₁＜2^x₂
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
所以f（x）在R上是增函数
（3）f(x)=

2^x-1

2^x+1

=1-

2^x+1

，
∵2^x+1＞1，∴0＜

2^x+1

＜1，
∴0＜

2^x+1

＜2，
∴-1＜1-

2^x+1

＜1
所以f(x)=

2^x-1

2^x+1

=1-

2^x+1

的值域为（-1，1）
或者可以设y=

2^x-1

2^x+1

，从中解出2^x=

1+y

1-y

，所以

1+y

1-y

＞0，所以值域为（-1，1）

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必修1 人教A版单选题高中数学

设函数f(x)=a?2x-11+2x是实数集R上的奇函数．（1）求实数a的值；（2）判断f（x）在R上的单调性并加以证明；（3）求函数f（x）的值域．试题及答案-单选题-云返教育

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集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;集合的相等;元素与集合关系的判断;子集与真子集相关试题