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已知函数f(x)=ax2+bx+1(a,b为实数),x∈R,F(x)={f(x)(x>0)-f(x)(x<0)(1)若f(-1)=0,且函数f(x)的值域为[0,+∞),求F(x)的表达式;(2)在(1)的条件下,当x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围;(3)设m?n<0,m+n>0,a>0且f(x)为偶函数,判断F(m)+F(n)能否大于零.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
已知函数f(x)=ax
2
+bx+1(a,b为实数),x∈R,F(x)=
{
f(x)(x>0)
-f(x)(x<0)
(1)若f(-1)=0,且函数f(x)的值域为[0,+∞),求F(x)的表达式;
(2)在(1)的条件下,当x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围;
(3)设m?n<0,m+n>0,a>0且f(x)为偶函数,判断F(m)+F(n)能否大于零.
试题解答
见解析
解:(1)∵f(-1)=0,∴a-b+1=0①,
又x∈R,f(x)的值域为[0,+∞),
∴
{
a>0
△=b
2
-4a=0
②,
由①②消掉a得,b
2
-4(b-1)=0,
∴b=2,a=1,
∴f(x)=x
2
+2x+1=(x+1)
2
.
∴F(x)=
{
(x+1)
2
,x>0
-(x+1)
2
,x<0
;
(2)由(1)知,g(x)=f(x)-kx=x
2
+2x+1-kx=x
2
+(2-k)x+1=(x+
2-k
2
)
2
+1-
(2-k)
2
4
,
当
k-2
2
≥2或
k-2
2
≤-2时,
即k≥6或k≤-2时,g(x)是单调函数.
(3)∵f(x)是偶函数,
∴f(x)=ax
2
+1,F(x)=
{
ax
2
+1(x>0)
-ax
2
-1(x<0)
,
∵m?n<0,设m>n,则n<0.
又m+n>0,
∴m>-n>0,
∴|m|>|-n|,
F(m)+F(n)=f(m)-f(n)=(am
2
+1)-an
2
-1=a(m
2
-n
2
)>0,
∴F(m)+F(n)能大于零.
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单选题
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数学
集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;集合的相等;元素与集合关系的判断;子集与真子集
相关试题
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第1章 集合
1.1 集合的含义与表示
集合的表示法
集合的分类
集合的含义
集合的确定性、互异性、无序性
元素与集合关系的判断
第3章 指数函数和对数函数
3.1 正整数指数函数
正整数指数函数
第4章 函数应用
4.1 函数与方程
二分法的定义
二分法求方程的近似解
根的存在性及根的个数判断
函数的零点
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函数零点的判定定理
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