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  • 已知函数f(x)=ax2+1bx+c(a，b，c∈R)是奇函数，又f(1)=2，f(2)=52．（1）求a，b，c的值；（2）当x∈（0，+∞）时，讨论函数的单调性，并写出证明过程．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f(x)=
      ax2+1
      bx+c
      (a，b，c∈R)是奇函数，又f(1)=2，f(2)=
      5
      2
      ．
      （1）求a，b，c的值；
      （2）当x∈（0，+∞）时，讨论函数的单调性，并写出证明过程．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵f（x）为奇函数．
      ∴f（-x）=-f（x），
      f(x)=
      ax2+1
      -bx+c
      ，-f(x)=
      ax2+1
      -bx-c

      ∴对任意x∈（-∞，0）∪（0，+∞），
      ax2+1
      -bx+c
      =
      ax2+1
      -bx-c
      恒成立
      ∴c=0（2分）
      又f(1)=
      a+1
      b
      =2，且f(2)=
      4a+1
      2b
      =
      5
      2

      可得a=b=1（4分）
      ∴a=b=1，c=0（5分）
      （2）f(x)=
      x2+1
      x

      得x      1，x2是（0，+∞）上任意两实数，且x1＜x2
      f(x1)-f(x2)=
      x
      2
      1
      +1
      x1
      -
      x
      2
      2
      +1
      x2
      =
      x
      2
      1
      x2+x2-x1x
      2
      2
      -x1
      x1x2

      =
      x1x2(x1-x2)+(x2-x1)
      x1x2
      =
      (x1-x2)(x1x2-1)
      x1x2
      （7分）
      当x      1，x2∈（0，1）时，x1x2-1＜0，x1-x2＜0，x1x2＞0
      ∴
      (x1-x2)(x1x2-1)
      x1x2
      ＞0，即f（x1）＞f（x2）（9分）
      当x      1，x2∈（1，+∞）时，x1x2-1＞0，x1-x2＜0，x1x2＞0
      ∴
      (x1-x2)(x1x2-1)
      x1x2
      ＜0即f（x1）＜f（x2）（11分）
      ∴f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数．（12分）
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