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  • 已知函数f（x）=ax+b1+x2是定义在（-1，1）上的奇函数，且f(12)=25（Ⅰ）确定函数f（x）的解析式；（Ⅱ）判断并证明f（x）在（-1，1）上的单调性；（Ⅲ）解不等式f（x-1）＜-f（x）试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=
      ax+b
      1+x2
      是定义在（-1，1）上的奇函数，且f(
      1
      2
      )=
      2
      5

      （Ⅰ）确定函数f（x）的解析式；
      （Ⅱ）判断并证明f（x）在（-1，1）上的单调性；
      （Ⅲ）解不等式f（x-1）＜-f（x）

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）∵函数f（x）=
      ax+b
      1+x2
      是定义在（-1，1）上的奇函数，
      ∴f（-x）=-f（x），即
      -ax+b
      1+(-x)2
      =-
      ax+b
      1+x2
      ，
      ∴-ax+b=-ax-b，∴b=0，
      ∵f(
      1
      2
      )=
      2
      5
      ，
      ∴
      1
      2
      a
      1+
      1
      4
      =
      2
      5
      ，解得a=1，
      ∴f（x）=
      x
      1+x2
      ；
      （Ⅱ）f（x）在（-1，1）上是增函数，证明如下：
      ∵f′（x）=
      1-x2
      (1+x2)2
      ，
      ∵-1＜x＜1时，
      1-x2
      (1+x2)2
      ＞0，
      ∴f（x）在（-1，1）上是增函数；
      （Ⅲ）∵f（x）为（-1，1）上的奇函数，
      ∴f（x-1）＜-f（x）=f（-x），
      由（Ⅱ）知函数f（x）在（-1，1）上单调递增，
      ∴
      {
      -1＜x-1＜1
      -1＜x＜1
      x-1＜-x
      ，解得0＜x＜
      1
      2
      ，
      ∴f（x-1）＜-f（x）的解集为（0，
      1
      2
      ）．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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