已知函数f（x）的定义域是（-∞，0）∪（0，+∞），对定义域内的任意m，n都有f（m?n）=f（m）+f（n），且当x＞1时f（x）＞0，f（2）=2，（1）求证：f（x）是偶函数；（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；（3）解不等式f（2x-1）＜4．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数f（x）的定义域是（-∞，0）∪（0，+∞），对定义域内的任意m，n都有f（m?n）=f（m）+f（n），且当x＞1时f（x）＞0，f（2）=2，
（1）求证：f（x）是偶函数；
（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（3）解不等式f（2x-1）＜4．

试题解答

见解析

（1）证明：因为对定义域内的任意m，n都有f（m?n）=f（m）+f（n），
所以，令m=n=1，则f（1）=f（1）+f（1），即f（1）=0；
令m=n=-1，则f（1）=f（-1）+f（-1），即0=2f（-1），所以f（-1）=0．
对定义域内的任意m，取n=-1，有f（-m）=f（m）+f（-1），即f（-m）=f（m），
所以f（x）是偶函数．
（2）证明：设0＜x₁＜x₂，
则f（x₂）-f（x₁）=f（x₁?

x₂

x₁

）-f（x₁）=f（x₁）+f（

x₂

x₁

）-f（x₁）=f（

x₂

x₁

），
因为当x＞1时f（x）＞0，且

x₂

x₁

＞1，所以f（

x₂

x₁

）＞0，
即f（x₂）-f（x₁）＞0，f（x₂）＞f（x₁）．
所以f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（3）解：由f（2）=2，得4=f（2）+f（2）=f（2?2）=f（4），
由（1），（2）得，f（2x-1）＜4?f（|2x-1|）＜f（4）?0＜|2x-1|＜4，
解得-

＜x＜

，且x≠

．
所以不等式的解集为：{x|-

＜x＜

，且x≠

}．

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必修1 人教A版单选题高中数学

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集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;集合的相等;元素与集合关系的判断;子集与真子集相关试题