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  • 已知函数f（x）=2x2-3x+1，g（x）=Asin（x-π6）（A≠0）．（1）当0≤x≤π2时，求y=f（sinx）的最大值；（2）问a取何值时，方程f（sinx）=a-sinx在[0，2π）上有两解？试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=2x2-3x+1，g（x）=Asin（x-
      π
      6
      ）（A≠0）．
      （1）当0≤x≤
      π
      2
      时，求y=f（sinx）的最大值；
      （2）问a取何值时，方程f（sinx）=a-sinx在[0，2π）上有两解？

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵y=f（sinx）=2sin2x-3sinx+1，
      设t=sinx，x∈[0，
      π
      2
      ]，则0≤t≤1；
      ∴y=2(t      2-
      3
      2
      t)+1=2(t-
      3
      4
      )2-
      1
      8
      ，
      ∴当t=0时，y取得最大值y      max=1；…（6分）
      （2）方程2sin      2x-3sinx+1=a-sinx化为
      2sin      2x-2sinx+1=a，
      该方程在[0，2π]上有两解，
      设t=sinx，则方程2t      2-2t+1=a在[-1，1]上解的情况如下：
      ①当在（-1，1）上只有一个解或相等解，x有两解，
      （5-a）（1-a）＜0或△=0；
      ∴a∈（1，5）或a=
      1
      2
      ；
      ②当t=-1时，x有惟一解x=
      3
      2
      π，
      ③当t=1时，x有惟一解x=
      π
      2
      ，
      综上，当a∈（1，5）或a=
      1
      2
      时，方程f（sinx）=a-sinx在[0，2π）上有两解．…（16分）
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