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  • 已知动圆P：（x-a）2+（y-b）2=r2（r＞0）被y轴所截的弦长为2，被x轴分成两段弧，且弧长之比等于13 ， |OP|≤r（其中P（a，b）为圆心，O为坐标原点）．（1）求a，b所满足的关系式；（2）点P在直线x-2y=0上的投影为A，求事件“在圆P内随机地投入一点，使这一点恰好在△POA内”的概率的最大值．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知动圆P：（x-a）2+（y-b）2=r2（r＞0）被y轴所截的弦长为2，被x轴分成两段弧，且弧长之比等于
      1
      3
      ， |OP|≤r（其中P（a，b）为圆心，O为坐标原点）．
      （1）求a，b所满足的关系式；
      （2）点P在直线x-2y=0上的投影为A，求事件“在圆P内随机地投入一点，使这一点恰好在△POA内”的概率的最大值．

      试题解答

      见解析
      解：（1）如图所示，设圆P被y轴所截的弦为EF，与x轴相较于C，D两点，
      过点P作PM⊥EF，垂足为M，连接PE，由垂径定理可得|EM|=1，在Rt△EMP中，r      2=1+a2．①
      ∵被x轴分成两段弧，且弧长之比等于
      1
      3
      ，设
      CD
      为劣弧，∴∠CPD=90°，
      过点P作PN⊥x轴，垂足无N，连接PD，PC，则Rt△PND为等腰直角三角形，∴r      2=2b2．②
      联立①②消去r可得：2b      2=1+a2，即为a，b所满足的关系式．
      （2）点P到直线x-2y=0的距离|PA|=
      |a-2b|
      √5
      =d，
      ∵PA⊥OA，∴|OA|=
      √r2-|PA|2
      =
      √r2-d2
      ，
      ∴S      △OAP=
      1
      2
      |OA| |PA|=
      1
      2
      d
      √r2-d2
      ，
      ∴事件“在圆P内随机地投入一点，使这一点恰好在△POA内”的概率P=
      S△OAP
      S圆P
      =
      1
      2
      d
      √r2-d2
      πr2
      ≤
      1
      2π
      ×
      d2+(r2-d2)
      2r2

      =
      1
      4π
      ，当且仅当d2=r2-d2，即
      {
      r2=1+a2
      r2=2b2
      r2=2(
      |a-2b|
      √5
      )2
      ，解得
      {
      a2=
      9-4
      √5
      4
      √5
      -7
      b2=
      1
      4
      √5
      -7

      ∴P的最大值为
      1
      4π
      ．
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      高二下册大纲版解答题高二数学

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