（1）等比数列{an}中，对任意n≥2，n∈N时都有an-1，an+1，an成等差，求公比q的值；（2）设Sn是等比数列{an}的前n项和，当S3，S9，S6成等差时，是否有a2，a8，a5一定也成等差数列？说明理由；（3）设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，是否存在正整数k，使Sm-k，Sm+k，Sm成等差且an-k，an+k，an也成等差，若存在，求出k与q满足的关系；若不存在，请说明理由．试题及答案-解答题-云返教育

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（1）等比数列{a_n}中，对任意n≥2，n∈N时都有a_n-1，a_n+1，a_n成等差，求公比q的值；
（2）设S_n是等比数列{a_n}的前n项和，当S₃，S₉，S₆成等差时，是否有a₂，a₈，a₅一定也成等差数列？说明理由；
（3）设等比数列{a_n}的公比为q，前n项和为S_n，是否存在正整数k，使S_m-k，S_m+k，S_m成等差且a_n-k，a_n+k，a_n也成等差，若存在，求出k与q满足的关系；若不存在，请说明理由．

试题解答

见解析

解：（1）当n≥2，n∈N时，a_n-1，a_n+1，a_n成等差，故有a_n-1+a_n=2a_n+1，1+q=2q²．
解得q=1或q=-

．…5分
（2）当q=1时S_n=na₁，显然3a₁，9a₁，6a₁不是等差数列，
所以q≠1，S_n=

a₁(1-qⁿ)

1-q

．由S₃，S₉，S₆成等差数列得

a₁(1-q³)

1-q

a₁(1-q⁶)

1-q

a₁(1-q⁹)

1-q

，
化简可得q³+q⁶=2q⁹，求得q³=-

或q³=1（不合题意）所以q³=-

．
所以 1+q³=2q⁶，a₂+a₂q³=2a₂q⁶，a₂+a₅=2a₈．
即一定有a₂，a₈，a₅成等差数列．…11分
（3）假设存在正整数k，使S_m-k，S_m+k，S_m成等差且a_n-k，a_n+k，a_n也成等差．
当q=1时S_n=na₁，显然（m-k）a₁，（m+k）a₁，ma₁不是等差数列，
所以q≠1，S_n=

a₁(1-qⁿ)

1-q

． …13分
由S_m-k，S_m+k，S_m成等差数列得

a₁(1-q^m-k)

1-q

a₁(1-q^m)

1-q

a₁(1-q^m+k)

1-q

，
即 q^m-k+q^m=2q^m+k，即 1+q^k=2q^2k．解得 q^k=-

，或q^k=1．…16分
当k为偶数时，q=-1，则有S_m-k=S_m+k=S_m且a_n-k=a_n+k=a_n．
当k为奇数时，q^k=-

；∴1+q^k=2q^2k，∴a_n-k+a_n-kq^k=2a_n-kq^2k，
∴a_n-k+a_n=2a_n+k．
综上所述，存在正整数k（k＜m，k＜n）满足题设，当k为偶数时，q=-1；当k为奇数时，q^k=-

．…18分．

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