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  • 设点An（xn，0），Pn（xn，2n-1）和抛物线Cn：y=x2+anx+bn（n∈N*），其中an=-2-4n-12n-1，xn由以下方法得到：x1=1，点P2（x2，2）在抛物线C1：y=x2+a1x+b1上，点A1（x1，0）到P2的距离是A1到C1上点的最短距离，…，点Pn+1（xn+1，2n）在抛物线Cn：y=x2+anx+bn上，点An（xn，0）到Pn+1的距离是An到Cn上点的最短距离．（Ⅰ）求x2及C1的方程．（Ⅱ）证明{xn}是等差数列．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      设点An（xn，0），Pn（xn，2n-1）和抛物线Cn：y=x2+anx+bn（n∈N*），其中an=-2-4n-
      1
      2n-1
      ，xn由以下方法得到：x1=1，点P2（x2，2）在抛物线C1：y=x2+a1x+b1上，点A1（x1，0）到P2的距离是A1到C1上点的最短距离，…，点Pn+1（xn+1，2n）在抛物线Cn：y=x2+anx+bn上，点An（xn，0）到Pn+1的距离是An到Cn上点的最短距离．
      （Ⅰ）求x      2及C1的方程．
      （Ⅱ）证明{x      n}是等差数列．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）由题意得A1（1，0），C1：y=x2-7x+b1，
      设点P（x，y）是C      1上任意一点，
      则|A      1P|=
      √(x-1)2+y2
      =
      √(x-1)2+(x2-7x+b1)2

      令f（x）=（x-1）      2+（x2-7x+b1）2
      则f'（x）=2（x-1）+2（x      2-7x+b1）（2x-7）
      由题意得f'（x      2）=0，
      即2（x      2-1）+2（x22-7x+b1）（2x2-7）=0
      又P      2（x2，2）在C1上，∴2=x22-7x2+b1
      解得x      2=3，b1=14
      故C      1的方程为y=x2-7x+14
      （Ⅱ）设点P（x，y）是C      n上任意一点，
      则|A      nP|=
      √(x-xn)2+y2
      =
      √(x-xn)2+(x2+anx+bn)2

      令g（x）=（x-x      n）2+（x2+anx+bn）2
      则g'（x）=2（x-x      n）+2（x2+anx+bn）（2x+an）
      由题意得g'（x      n+1）=0
      即2（x      n+1-xn）+2（xn+12+anx+bn）（2xn+1+an）=0
      又∵2      n=xn+1，∴（xn+1-xn）+2n（2xn+1+an）=0（n≥1），
      即（1+2      n+1）xn+1-xn+2nan=0??（*）
      下面用数学归纳法证明x      n=2n-1，
      ①当n=1时，x      1=1，等式成立；
      ②假设当n=k时，等式成立，即x      k=2k-1，
      则当n=k+1时，由（*）知（1+2      k+1）xk+1-xk+2kak=0，
      又a      k=2-4k-
      1
      2k-1
      ，∴xk+1=
      xk-2kak
      1+2k+1
      =2k+1，
      即n=k+1时，等式成立．
      由①②知，等式对n∈N      *成立，
      故{x      n}是等差数列．
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