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  • 在等差数列{an}中，a1=3，其前n项和为Sn，等比数列{bn}的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12，q=S2b2．（I）求an与bn；（II）设Tn=anb1+an-1b2+…+a1bn，n∈N+，求Tn的值．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      在等差数列{an}中，a1=3，其前n项和为Sn，等比数列{bn}的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12，q=
      S2
      b2
      ．
      （I）求a      n与bn；
      （II）设      Tn=anb1+an-1b2+…+a1bn，n∈N+，求Tn的值．

      试题解答

      见解析
      解（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，∵差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}为等比数列，
      且      b2+S2=12，q=
      S2
      b2
      ，
      ∴
      {
      b1q+a1+a2=12
      q=
      a1+a2
      1?q
      ，即
      {
      q+6+d=12①
      6+d=q2 ②
      ，解得：
      {
      d=3
      q=3
      ．
      ∴a      n=a1+（n-1）d=3+（n-1）?3=3n，
      bn=b1qn-1=1×3n-1=3n-1．
      （Ⅱ）T      n=anb1+an-1b2+an-2b3+…+a1bn
      =3n?1+3（n-1）?3+3（n-2）?3      2+…+3×2×3n-2+3?3n-1
      =n?3+（n-1）?3      2+（n-2）?33+…+2?3n-1+3n．
      ∴3T      n=n?32+(n-1)?33+…+2?3n+3n+1．
      ∴3T      n-Tn=-3n+32+33+…+3n+3n+1
      =（3      2+33+…+3n+1）-3n
      =
      9×(1-3n)
      1-3
      -3n=
      3n+2
      2
      -3n-
      9
      2
      ．
      ∴      Tn=
      3n-1
      2
      -n-
      3
      2
      ．
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