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  • 设数列{an}{bn}的各项都是正数，Sn为数列{an}的前n项和，且对任意n∈N*．都有an2=2Sn-an，b1=e，bn+1=bn2．cn=an?lnbn（e是自然对数的底数，e=2.71828…）（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；（2）求数列{cn}的前n项和Tn；（3）试探究是否存在整数λ，使得对于任意n∈N*，不等式5(n-1)2Sn-1＜λ＜4(Tn-1)(n-1)n(n+1)恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      设数列{an}{bn}的各项都是正数，Sn为数列{an}的前n项和，且对任意n∈N*．都有an2=2Sn-an，b1=e，bn+1=bn2．cn=an?lnbn（e是自然对数的底数，e=2.71828…）
      （1）求数列{a      n}、{bn}的通项公式；
      （2）求数列{c      n}的前n项和Tn；
      （3）试探究是否存在整数λ，使得对于任意n∈N      *，不等式
      5(n-1)
      2Sn-1
      ＜λ＜
      4(Tn-1)
      (n-1)n(n+1)
      恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

      试题解答

      见解析
      解：（1）因为an＞0，an2=2Sn-an，①
      当n=1时，      a12=2S1-a1，解得a1=1；
      当n≥2时，有      a
      2
      n-1
      =2Sn-1-an-1，②
      由①-②得，      an2-a
      2
      n-1
      =2(Sn-Sn-1)-(an-an-1)=an+an-1．
      即（a      n+an-1）（an-an-1）=an+an-1．
      因为a      n＞0，所以an-an-1=1（n≥2），即数列{an}是等差数列，
      所以a      n=a1+（n-1）d=1+n-1=n．
      又因为      bn+1=bn2，且bn＞0，取自然对数得lnbn+1=2lnbn，
      由此可知数列{lnb      n}是以lnb1=lne=1为首项，以2为公比的等比数列，
      所以lnb      n=lnb1×2n-1=2n-1，
      所以      bn=e2n-1．
      （2）由（1）知，      cn=an?lnbn=n?2n-1，
      所以      Tn=1×20+2×21+3×22+…+(n-1)×2n-2+n×2n-1 ③
      2×T      n=1×21+2×22+3×23+…+(n-1)×2n-1+n×2n ④
      由③-④得-T      n=1+2+22+…+2n-1-n×2n，
      所以      Tn=(n-1)2n+1．
      （3）由a      n=n，an2=2Sn-an得Sn=
      n2+n
      2
      ，
      由
      5(n-1)
      2Sn-1
      ＜λ＜
      4(Tn-1)
      (n-1)n(n+1)
      可得
      5(n-1)
      n2+n-1
      ＜λ＜
      2n+2
      n(n+1)
      ，
      即使得对于任意n∈N      *且n≥2，不等式
      5(n-1)
      2Sn-1
      ＜λ＜
      4(Tn-1)
      (n-1)n(n+1)
      恒成立等价于使得对于
      任意n∈N      *且n≥2，不等式
      5(n-1)
      n2+n-1
      ＜λ＜
      2n+2
      n(n+1)
      恒成立．
      ∵
      5(n-1)
      n2+n-1
      =
      5
      n+
      2n-2+1
      n-1
      =
      5
      n+2+
      1
      n-1
      ≤1，当n=2时取最大值是1．
      又令g(n)=
      2n+2
      n(n+1)
      ，
      由
      {
      g(n)≤g(n-1)
      g(n)≤g(n+1)

      可得
      {
      2n+2
      n(n+1)
      ≤
      2n+1
      n(n-1)
      2n+2
      n(n+1)
      ≤
      2n+3
      (n+1)(n+2)
      ，
      化简得：
      {
      2
      n+1
      ≤
      1
      n-1
      1
      n
      ≤
      2
      n+2
      ，
      解得2≤n≤3，所以当n=2或3时，g（n）取最小值，最小值为g(2)=g(3)=
      8
      3
      ，
      所以λ=2时，原不等式恒成立．
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