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  • 设△AnBnCn的三边长分别为an，bn，cn，n=1，2，3…，若b1＞c1，b1+c1=2a1，an+1=an，bn+1=cn+an2，cn+1=bn+an2，则∠An的最大值是 ．试题及答案-填空题-云返教育

      • 试题详情

      设△AnBnCn的三边长分别为an，bn，cn，n=1，2，3…，若b1＞c1，b1+c1=2a1，an+1=an，bn+1=
      cn+an
      2
      ，cn+1=
      bn+an
      2
      ，则∠An的最大值是          ．

      试题解答

      π
      3
      解：∵an+1=an，∴an=a1，
      ∵b      n+1=
      cn+an
      2
      ，cn+1=
      bn+an
      2
      ，
      ∴b      n+1+cn+1=an+
      bn+cn
      2
      =a1+
      bn+cn
      2
      ，
      ∴b      n+1+cn+1-2a1=
      1
      2
      （bn+cn-2a1），
      又b      1+c1=2a1，
      ∴当n=1时，b      2+c2-2a1=
      1
      2
      （b1+c1+-2a1）=0，
      当n=2时，b      3+c3-2a1=
      1
      2
      （b2+c2+-2a1）=0，
      …
      ∴b      n+cn-2a1=0，
      即b      n+cn=2a1为常数，则由基本不等式可得bn+cn=2a1≥2
      √bncn
      ，
      ∴b      ncn≤(a1)2，
      由余弦定理可得      a
      2
      n
      =b
      2
      n
      +c
      2
      n
      -2bncncosAn=（bn+cn）2-2bncn-2bncncosAn，
      即（a      1）2=（2a1）2-2bncn（1+cosAn），
      即2b      ncn（1+cosAn）=3（a1）2≤2（a1）2（1+cosAn），
      即3≤2（1+cosA      n），
      解得cosA      n≥
      1
      2
      ，
      ∴0＜A      n≤
      π
      3
      ，
      即∠A      n的最大值是
      π
      3
      ，
      故答案为：
      π
      3
      标签
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