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如图所示,在Rt△ABC内有一内接正方形,它的一条边在斜边BC上,设AB=a,∠ABC=θ(1)求△ABC的面积f(θ)与正方形面积g(θ);(2)当θ变化时,求f(θ)g(θ)的最小值.试题及答案-解答题-云返教育
试题详情
如图所示,在Rt△ABC内有一内接正方形,它的一条边在斜边BC上,设AB=a,∠ABC=θ
(1)求△ABC的面积f(θ)与正方形面积g(θ);
(2)当θ变化时,求
f(θ)
g(θ)
的最小值.
试题解答
见解析
解:(1)由题得:AC=atanθ
∴f(θ)=
1
2
a
2
tanθ(0<θ<
π
2
)
设正方形的边长为x,则BG=
x
sinθ
,由几何关系知:∠AGD=θ
∴AG=xcosθ 由BG+AG=a?
x
sinθ
+xcosθ=a?x=
asinθ
1+sinθcosθ
∴g(θ)=
a
2
sin
2
θ
(1+sinθcosθ)
2
(0<θ<
π
2
)
(2)
f(θ)
g(θ)
=
(1+sinθcoθ)
2
2sinθcosθ
=1+
1
sin2θ
+
sin2θ
4
令:t=sin2θ
∵0<θ<
π
2
∴t∈(0,1]∴y=1+
1
t
+
t
4
=1+
1
4
(t+
t
4
)∵函数y=1+
1
4
(t+
t
4
)在(0,1]递减
∴y
min
=
9
4
(当且仅当t=1即θ=
π
4
时成立)
∴当θ=
π
4
时,
f(θ)
g(θ)
的最小值为
9
4
.
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选修4-5
人教A版
解答题
高中
数学
基本不等式
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1.1 不等式的性质
不等式
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一般形式的柯西不等式
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