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  • 已知二次函数y=f1（x）的图象以原点为顶点且过点（1，1），反比例函数y=f2（x）的图象与直线y=x的两个交点间距离为8，f（x）=f1（x）+f2（x）．（1）求函数f（x）的表达式；（2）证明：当a＞3时，关于x的方程f（x）=f（a）有三个实数解．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知二次函数y=f1（x）的图象以原点为顶点且过点（1，1），反比例函数y=f2（x）的图象与直线y=x的两个交点间距离为8，f（x）=f1（x）+f2（x）．
      （1）求函数f（x）的表达式；
      （2）证明：当a＞3时，关于x的方程f（x）=f（a）有三个实数解．

      试题解答

      见解析
      解：（1）由已知，设f1（x???=ax2，过点（1，1），
      即f      1（1）=1，得a=1，
      ∴f      1（x）=x2．
      设f      2（x）=
      k
      x
      （k＞0），它的图象与直线y=x的交点分别为
      A（
      √k
      ，
      √k
      ）B（-
      √k
      ，-
      √k
      ）
      由|AB|=8，得k=8，．∴f      2（x）=
      8
      x
      ．故f（x）=x2+
      8
      x
      ．

      （2）证法一：f（x）=f（a），得x      2+
      8
      x
      =a2+
      8
      a
      ，
      即
      8
      x
      =-x2+a2+
      8
      a
      ．
      在同一坐标系内作出f      2（x）=
      8
      x
      和f3（x）=-x2+a2+
      8
      a
      的大致图象，
      其中f      2（x）的图象是以坐标轴为渐近线，且位于第一、三象限的双曲线，
      f      3（x）与的图象是以（0，a2+
      8
      a
      ）为顶点，开口向下的抛物线．
      因此，f      2（x）与f3（x）的图象在第三象限有一个交点，
      即f（x）=f（a）有一个负数解．
      又∵f      2（2）=4，f3（2）=-4+a2+
      8
      a

      当a＞3时，．f      3（2）-f2（2）=a2+
      8
      a
      -8＞0，
      ∴当a＞3时，在第一象限f      3（x）的图象上存在一点（2，f（2））在f2（x）图象的上方．
      ∴f      2（x）与f3（x）的图象在第一象限有两个交点，即f（x）=f（a）有两个正数解．
      因此，方程f（x）=f（a）有三个实数解．

      证法二：由f（x）=f（a），得x      2+
      8
      x
      =a2+
      8
      a
      ，
      即（x-a）（x+a-
      8
      ax
      ）=0，得方程的一个解x1=a．
      方程x+a-
      8
      ax
      =0化为ax2+a2x-8=0，
      由a＞3，△=a      4+32a＞0，得
      x      2=
      -a2-
      √a4+32a
      2a
      ，x3=
      -a2+
      √a4+32a
      2a
      ，
      ∵x      2＜0，x3＞0，∴x1≠x2，且x2≠x3．
      若x      1=x3，即a=
      -a2+
      √a4+32a
      2a
      ，则3a2=
      √a4+32a
      ，a4=4a，
      得a=0或a=
      3√4
      ，这与a＞3矛盾，∴x1≠x3．
      故原方程f（x）=f（a）有三个实数解．
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