已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．（1）若a＞b＞c且f（1）=0，判断函数f（x）的图象与x轴公共点的个数；（2）证明：若对x1，x2且x1＜x2，f（x1）≠f（x2），则方程f（x）=f(x1)+f(x2)2必有一实根在区间（x1，x2）内；（3）在（1）的条件下，设f（x）=0的另一根为x0，若方程f（x）+a=0有解证明-2＜x0≤-1．试题及答案-解答题-云返教育

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已知二次函数f（x）=ax²+bx+c．
（1）若a＞b＞c且f（1）=0，判断函数f（x）的图象与x轴公共点的个数；
（2）证明：若对x₁，x₂且x₁＜x₂，f（x₁）≠f（x₂），则方程f（x）=

f(x₁)+f(x₂)

必有一实根在区间（x₁，x₂）内；
（3）在（1）的条件下，设f（x）=0的另一根为x₀，若方程f（x）+a=0有解证明-2＜x₀≤-1．

见解析

解：（1）∵f（1）=a+b+c=0，a＞b＞c，∴判别式△=b²-4ac=（a-c）²＞0，
∴f（x）的图象与x轴有两个相异交点．…（4分）
（2）证明：令g（x）=f（x）-

f(x₁)+f(x₂)

，则 g（x₁）g（x₂）=[f（x₁）-

f(x₁)+f(x₂)

]?[f（x₂）-

f(x₁)+f(x₂)

]
=

f(x₁)-f(x₂)

-f(x₁)+f(x₂)

＜0，
故函数g（x）必在区间（x₁，x₂）内有零点，
因此方程f（x）=

f(x₁)+f(x₂)

必有一实根在区间（x₁，x₂）内．…（8分）
（3）证明：方程f（x）+a=ax²+bx+a+c=0有解，∴△=b²-4a（a+c）=-（a+c）²-4a（a+c）=（c+a）（c-3a）≥0．…（10分）
∵a＞b＞c，∴c-3a＜0，∴-b=a+c≤0，∴b≥0，∴0≤

＜1．…（12分）
再由根与系数的关系得：x₀+1=-

，∴x₀+1∈（-1，0]，
∴x₀∈（-2，-1]．…（14分）

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