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方程1x-1=2sin(πx)在区间[-2010,2012]所有根之和等于 .试题及答案-填空题-云返教育
试题详情
方程
1
x-1
=2sin(πx)在区间[-2010,2012]所有根之和等于
.
试题解答
4 020
解:设 f(x)=
1
x-1
,g(x)=2sinπx,此题是求以上两个函数的交点的横坐标的和的问题.
显然,以上两个函数都关于点(1,0)成中心对称.
函数f(x)的值域为(-∞,0)∪(0,+∞),定义域为{x|x≠1},
函数g(x) 的值域为[-2,2],定义域为R,最小正周期为2.
在区间[0,2]上,两个函数无交点,应用介值定理,可以得到第一个交点x
0
∈[2,
9
4
].
从x=2开始,在每个周期上,f(x) 和 g(x)都有两个交点,相对应的,在区间[-2010,0]上,
两个函数有和区间[2,2012]上相同多的交点.
在区间[2,2012]上,函数g(x) 共有1005个周期,因此和函数f(x)有2010个交点,
因此在区间[-2010,0]上也有2010个交点,
且对每一个交点,相对于(1,0)中心对称的点也是两个函数的交点.
而每对这样的交点之和为2,即若m是两个函数的一个交点的横坐标,则2-m也是两个函数的一个交点的横坐标,
因为一共有2010对这样的交点.
所以,在区间[-2010,2012]上,两个函数所有交点的横坐标的和为2010×2=4020.
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