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给出集合A={-2,-1,-12,-13,12,1,2,3}.已知a∈A,使得幂函数f(x)=xa为奇函数;指数函数g(x)=ax在区间(0,+∞)上为增函数.(1)试写出所有符合条件的a,说明理由;(2)判断f(x)在(0,+∞)的单调性,并证明;(3)解方程:f[g(x)]=g[f(x)].试题及答案-解答题-云返教育
试题详情
给出集合A={-2,-1,-
1
2
,-
1
3
,
1
2
,1,2,3}.已知a∈A,使得幂函数f(x)=x
a
为奇函数;指数函数g(x)=a
x
在区间(0,+∞)上为增函数.
(1)试写出所有符合条件的a,说明理由;
(2)判断f(x)在(0,+∞)的单调性,并证明;
(3)解方程:f[g(x)]=g[f(x)].
试题解答
见解析
解:(1)a=3.…1分
∵指数函数g(x)=a
x
在区间(0,+∞)上为增函数,
∴a>1,
∴a只可能为2或3.
而当a=2时,幂函数f(x)=x
2
为偶函数,
只有当a=3时,幂函数f(x)=x
3
为奇函数.
(只需简单说明理由即可,无需与答案相同)…2分
(2)f(x)=x
3
在(0,+∞)上为增函数.…1分
证明:在(0,+∞)上任取x
1
,x
2
,x
1
<x
2
,
f(x
1
)-f(x
2
)=x
1
3
-x
2
3
=(x
1
-x
2
)(x
1
2
+x
1
x
2
+x
2
2
)
=(x
1
-x
2
)[(x
1
+
1
2
x
2
)
2
+
3
4
x
2
2
],
∵x
1
<x
2
,
∴x
1
-x
2
<0,(x
1
+
1
2
x
2
)
2
+
3
4
x
2
2
>0,
∴f(x
1
)-f(x
2
)<0,
∴f(x
1
)<f(x
2
).
∴f(x)=x
3
在(0,+∞)上为增函数.…3分
(3)f[g(x)]=(3
x
)
3
=3
3x
,
g[f(x)]=3
x
3
,
∴3
3x
=3
x
3
,…2分
根据指数函数的性质,
得3x=x
3
,
∴x
1
=0,x
2
=
√
3
,x
3
=-
√
3
. …1分.
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幂函数的性质
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