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  • 已知幂函数y=f（x）的图象经过点(2，√2)．（1）求函数f（x）的解析式，并写出f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）的单调性，并证明你的结论．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知幂函数y=f（x）的图象经过点(2，
      √2
      )．
      （1）求函数f（x）的解析式，并写出f（x）的定义域；
      （2）判断函数f（x）的单调性，并证明你的结论．

      试题解答

      见解析
      解：（1）依题意设y=xα，
      ∵函数y=f（x）的图象经过点(2，
      √2
      )，
      ∴
      √2
      =2α，∴α=
      1
      2
      ，∴f(x)=x
      1
      2
      ，
      由f(x)=x
      1
      2
      =
      √x
      可知：f（x）的定义域为[0，+∞）
      （2）函数f（x）在[0，+∞）上是增函数；
      证明：任取x      1，x2∈[0，+∞），且x1＜x2，
      则f(x      1)-f(x2)=
      √x1
      -
      √x2
      =
      (
      √x1
      -
      √x2
      )(
      √x1
      +
      √x2)
      √x1
      +
      √x2

      =
      x1-x2
      √x1
      +
      √x2
      ，
      ∵x      1-x2＜0，
      √x1
      +
      √x2
      ＞0
      ∴f（x      1）＜f（x2）
      所以函数f(x)=
      √x
      在[0，+∞）上是增函数．
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      高一上册沪教版解答题高一数学

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