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  • 设a为实数，函数f（x）=2x2+（x-a）|x-a|．（1）若f（0）≥1，求a的取值范围；（2）求f（x）的最小值；（3）设函数h（x）=f（x），x∈（a，+∞），求不等式h（x）≥1的解集．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      设a为实数，函数f（x）=2x2+（x-a）|x-a|．
      （1）若f（0）≥1，求a的取值范围；
      （2）求f（x）的最小值；
      （3）设函数h（x）=f（x），x∈（a，+∞），求不等式h（x）≥1的解集．

      试题解答

      见解析
      解：（1）若f（0）≥1，则-a|a|≥1?
      {
      a＜0
      a2≥1
      ?a≤-1
      （2）当x≥a时，f（x）=3x      2-2ax+a2，∴f(x)min=
      {
      f(a)，a≥0
      f(
      a
      3
      )，a＜0
      =
      {
      2a2，a≥0
      2
      3
      a2，a＜0
      ，
      如图所示：

      当x≤a时，f（x）=x      2+2ax-a2，
      ∴f(x)      min=
      {
      f(-a)，a≥0
      f(a)，a＜0
      =
      {
      -2a2，a≥0
      2a2，a＜0
      ．

      综上所述：f(x)      min=
      {
      -2a2，a≥0
      2
      3
      a2 a＜0
      ．
      （3）x∈（a，+∞）时，h（x）≥1，
      得3x      2-2ax+a2-1≥0，△=4a2-12（a2-1）=12-8a2
      当a≤-
      √6
      2
      或a≥
      √6
      2
      时，△≤0，x∈（a，+∞）；
      当-
      √6
      2
      ＜a＜
      √6
      2
      时，△＞0，得：
      {
      (x-
      a-
      √3-2a2
      3
      )(x-
      a+
      √3-2a2
      3
      ) ≥0
      x＞a

      即
      {
      x≤
      a-
      √3-2a2
      3
      或x≥
      a+
      √3-2a2
      3
      x＞a

      综上可得，
      当a∈（-∞，-
      √6
      2
      ）∪（
      √6
      2
      ，+∞）时，不等式组的解集为（a，+∞）；
      当a∈（-
      √6
      2
      ，-
      √2
      2
      ）时，不等式组的解集为（a，
      a-
      √3-2a2
      3
      ]∪[
      a+
      √3-2a2
      3
      ，+∞）；
      当a∈[-
      √2
      2
      ，
      √2
      2
      ]时，不等式组的解集为[
      a+
      √3-2a2
      3
      ，+∞）．
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