已知f（x）是二次函数，f′（x）是它的导函数，且对任意的x∈R，f′（x）=f（x+1）+x2恒成立．（1）求f（x）的解析表达式；（2）设t＞0，曲线C：y=f（x）在点P（t，f（t））处的切线为l，l与坐标轴围成的三角形面积为S（t）．求S（t）的最小值．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知f（x）是二次函数，f′（x）是它的导函数，且对任意的x∈R，f′（x）=f（x+1）+x²恒成立．
（1）求f（x）的解析表达式；
（2）设t＞0，曲线C：y=f（x）在点P（t，f（t））处的切线为l，l与坐标轴围成的三角形面积为S（t）．求S（t）的最小值．

见解析

解：（1）设f（x）=ax²+bx+c（其中a≠0），
则f'（x）=2ax+b，（2分）f（x+1）=a（x+1）²+b（x+1）+c=ax²+（2a+b）x+a+b+c．
由已知，得2ax+b=（a+1）x²+（2a+b）x+a+b+c，
∴

{	a+1=0 2a+b=2a a+b+c=b

，
解之，得a=-1，b=0，c=1，
∴f（x）=-x²+1．

（2）由（1）得，P（t，1-t²），切线l的斜率k=f'（t）=-2t，
∴切线l的方程为y-（1-t²）=-2t（x-t），即y=-2tx+t²+1．
从而l与x轴的交点为A(

t²+1

， 0)，l与y轴的交点为B（0，t²+1），
∴S(t)=

(t²+1)²

（其中t＞0）．
∴S ′(t)=

(t²+1)(

√3

t+1)(

√3

t-1)

4t²

．
当0＜t＜

√3

时，S'（t）＜0，S（t）是减函数；
当t＞

√3

时，S'（t）＞0，S（t）是增函数．
∴[S(t)]_min=S(

√3

．

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