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  • 已知二次函数f（x）对任意x∈R，都有f（l-x）=f（l+x）恒成立，设向量a=（sinx，2），b=（2sinx，12），c=（cos2x，1），d=（1，2），当x∈[0，π]时，求不等式f（a?b）＞f（c?d）的解集．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知二次函数f（x）对任意x∈R，都有f（l-x）=f（l+x）恒成立，设向量
      a
      =（sinx，2），
      b
      =（2sinx，
      1
      2
      ），
      c
      =（cos2x，1），
      d
      =（1，2），当x∈[0，π]时，求不等式f（
      a
      ?
      b
      ）＞f（
      c
      ?
      d
      ）的解集．

      试题解答

      见解析
      解：设f（x）的二次项系数为m，m≠0，
      设其图象上两点为（1-x，y      1）、B（1+x，y2）
      因为
      (1-x)+(1+x)
      2
      =1，f（1-x）=f（1+x），
      所以y      1=y2，由x的任意性得f（x）的图象关于直线x=1对称，
      若m＞0，则x≥1时，f（x）是增函数，若m＜0，则x≥1时，f（x）是减函数．
      ∵
      a
      ?
      b
      =（sinx，2）?（2sinx，
      1
      2
      ）=2sin2x+1≥1，
      c
      ?
      d
      =（cos2x，1）?（1，2）=cos2x+2≥1，
      ∴①当m＞0时，f（
      a
      ?
      b
      ）＞f（
      c
      ?
      d
      ）?f（2sin2x+1）＞f（cos2x+1）
      ∴2sin      2x+1＞cos2x+2
      ∴1-cos2x+1＞cos2x+2
      ∴2cos2x＜0∴cos2x＜0∴2kπ+
      π
      2
      ＜2x＜2kπ+
      3
      2
      π，k∈Z．
      ∵0≤x≤π，∴
      π
      4
      ＜x＜
      3
      4
      π．
      ②当m＜0时，同理可得0≤x＜
      π
      4
      ＜或
      3
      4
      π＜x≤π．
      综上：f（
      a
      ?
      b
      ）＞f（
      c
      ?
      d
      ）的解集是：
      当m＞0时，为{x|
      π
      4
      ＜x＜
      3
      4
      π}；
      当m＜0时，为{x|0≤x＜
      π
      4
      ，或
      3
      4
      π＜x≤π}．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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