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  • 已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，直线l1：x=2，l2：y=-t2+8t（其中0≤t≤2．t为常数）；若直线l1、l2与函数f（x）的图象以及l1，y轴与函数f（x）的图象所围成的封闭图形如阴影所示．（Ⅰ）求a、b、c的值；（Ⅱ）求阴影面积S关于t的函数S（t）的解析式；（Ⅲ）若g（x）=6lnx+m，问是否存在实数m，使得y=f（x）的图象与y=g（x）的图象有且只有两个不同的交点？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，直线l1：x=2，l2：y=-t2+8t（其中0≤t≤2．t为常数）；若直线l1、l2与函数f（x）的图象以及l1，y轴与函数f（x）的图象所围成的封闭图形如阴影所示．
      （Ⅰ）求a、b、c的值；
      （Ⅱ）求阴影面积S关于t的函数S（t）的解析式；
      （Ⅲ）若g（x）=6lnx+m，问是否存在实数m，使得y=f（x）的图象与y=g（x）的图象有且只有两个不同的交点？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

      试题解答

      见解析
      解：（I）由图形可知二次函数的图象过点（0，0），（8，0），并且f（x）的最大值为16
      则
      {
      c=0
      a?82+b?8+c=0
      4ac-b2
      4a
      =16
      解之得：
      {
      a=-1
      b=8
      c=0
      ，
      ∴函数f（x）的解析式为f（x）=-x      2+8x
      （Ⅱ）由
      {
      y=-t2+8t
      y=-x2+8x
      得x2-8x-t（t-8）=0，∴x1=t，x2=8-t，
      ∵0≤t≤2，∴直线l      1与f（x）的图象的交点坐标为（t，-t2+8t）
      由定积分的几何意义知：S(t)=      ∫
      t
      0
      [(-t2+8t)-(-x2+8x)]dx+∫
      2
      t
      [(-x2+8x)-(-t2+8t]dx=[(-t2+8t)x-(-
      x3
      3
      +4x2)] |_t+[(-
      x3
      3
      +4x2)-(-t2+8t)?x] |
      2
      t
      =-
      4
      3
      t3+10t2-16t+
      40
      3

      （Ⅲ）令H（x）=g（x）-f（x）=x      2-8x+6lnx+m．
      因为x＞0，要使函数f（x）与函数g（x）有且仅有2个不同的交点，则函数H（x）=x      2-8x+6lnx+m的图象与x轴的正半轴有且只有两个不同的交点
      ∴      H′(x)=2x-8+
      6
      x
      =
      2x2-8x+6
      x
      =
      2(x-1)(x-3)
      x
      (x＞0)
      ∴x=1或x=3时，H′（x）=0
      当x∈（0，1）时，H′（x）＞0，H（x）是增函数；
      当x∈（1，3）时，H′（x）＜0，H（x）是减函数
      当x∈（3，+∞）时，H′（x）＞0，H（x）是增函数
      ∴H（x）极大值为H（1）=m-7；H（x）极小值为H（3）=m+6ln3-15
      又因为当x→0时，H（x）→-∞；当x→+∞时，H（x）→+∞
      所以要使?（x）=0有且仅有两个不同的正根，必须且只须
      {
      H(1)=0
      H (3)＜0
      或
      {
      H(3)=0
      H(1)＞0

      即
      {
      m-7=0
      m+6ln3-15＜0
      或
      {
      m+6ln3-15=0
      m-7＞0
      ，∴m=7或m=15-6ln3．
      ∴当m=7或m=15-6ln3．时，函数f（x）与g（x）的图象有且只有两个不同交点
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