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已知二次函数f(x)=x2-8x+q2-q+1.(1)若在区间[-1,1]上至少存在一点m,使f(m)<0求实数q的范围.(2)问是否存在常数t,若x∈[3,t]时,f(x)的值域为区间D,且D的长度为2t.(注:区间[a,b]的长度为b-a).试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
已知二次函数f(x)=x
2
-8x+q
2
-q+1.
(1)若在区间[-1,1]上至少存在一点m,使f(m)<0求实数q的范围.
(2)问是否存在常数t,若x∈[3,t]时,f(x)的值域为区间D,且D的长度为2t.(注:区间[a,b]的长度为b-a).
试题解答
见解析
解:(1)∵f(x)=x
2
-8x+q
2
-q+1=(x-4)
2
+q
2
-q-15.
f(x)对称轴为x=4,开口向上,
f(x)在[-1.1]上单调递减,要满足区间上至少存在一点m,
使f(m)<0,
即要求f(1)<0,f(1)=q
2
-q-6<0,
(q-3)(q+2)<0,
解得:{q|-2<q<3}.
(2).f(3)=q
2
-q-14,
f(t)=t
2
-8t+q
2
-q+1,
f(4)=q
2
-q-15.
若f(3)<f(t),
值域为[q
2
-q-15,t
2
-8t+q
2
-q+1],
区间长度为t
2
-8t+16=2t,
解得t=2(舍去)或8.
若f(3)>f(t),值域为[q
2
-q-15,q
2
-q-14],
区间长度为1=2t,解得t=
1
2
(舍去).
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集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;集合的相等;元素与集合关系的判断;子集与真子集
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第1章 集合
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