定义在R上的函数f（x）的图象关于点(-34，0)或中心对称，对任意的实数x均有f(x)=-f(x+32)且f（-1）=1，f（0）=-2，则f（1）+f（2）+…+f（2009）的值为．试题及答案-单选题-云返教育

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定义在R上的函数f（x）的图象关于点(-

，0)或中心对称，对任意的实数x均有f(x)=-f(x+

)且f（-1）=1，f（0）=-2，则f（1）+f（2）+…+f（2009）的值为．

解：由f（x+

）=-f（x），得f（x+3）=f[（x+

）+

]=-f（x+

）=f（x），则有周期T=3．
又∵f（x）的图象关于点(-

，0)成中心对称，即f（-

+x）=-f（-

-x），
令x=

代入上式，得f（-

）=-f（-1），即f（1）=f（-

）=-f（-

）=f（-1）=1，
∵f（-1）=1，f（0）=-2，函数的周期是3，
∴f（1+3k）=f（-2）=1，f（2+3k）=f（-1）=1，f（3+3k）=f（0）=-2，其中k是任意整数．
则f（1）+f（2）+…+f（2009）=

2007

[f（1）+f（2）+f（3）]+f（2008）+f（2009）
=669×（1+1-2）+f（1）+f（2）=2．
故答案为：2．

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