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  • 已知函数f（x）=ax3-32x2+1(x∈R)，其中a＞0．（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若在区间[-12，12]上，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=ax3-
      3
      2
      x2+1(x∈R)，其中a＞0．
      （Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
      （Ⅱ）若在区间[-
      1
      2
      ，
      1
      2
      ]上，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．

      试题解答

      见解析
      （Ⅰ）解：当a=1时，f（x）=x3-
      3
      2
      x2+1，
      f（2）=3；f′（x）=3x      2-3x，f′（2）=6．
      所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-3=6（x-2），
      即y=6x-9；
      （Ⅱ）解：f′（x）=3ax      2-3x=3x（ax-1）．
      令f′（x）=0，解???x=0或x=
      1
      a
      ．
      以下分两种情况讨论：
      （1）若0＜a≤2，则
      1
      a
      ≥
      1
      2
      ；
      当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

      当x∈[-
      1
      2
      ，
      1
      2
      ]时，f（x）＞0，等价于
      {
      f(-
      1
      2
      )＞0
      f(
      1
      2
      )＞0
      即
      {
      5-a
      8
      ＞0
      5+a
      8
      ＞0
      ．
      解不等式组得-5＜a＜5．因此0＜a≤2；
      （2）若a＞2，则0＜
      1
      a
      ＜
      1
      2

      当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
      当x∈[-
      1
      2
      ，
      1
      2
      ]时，f（x）＞0等价于
      {
      f(-
      1
      2
      )＞0
      f(
      1
      a
      )＞0
      即
      {
      5-a
      8
      ＞0
      1-
      1
      2a2
      ＞0.

      解不等式组得
      √2
      2
      ＜a＜5或a＜-
      √2
      2
      ．因此2＜a＜5．
      综合（1）和（2），可知a的取值范围为0＜a＜5．
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