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  • 设f（x）=3ax2+2bx+c，且a+b+c=0，，求证：（1）若f（0）?f（1）＞0，求证：-2＜ba＜-1；（2）在（1）的条件下，证明函数f（x）的图象与x轴总有两个不同的公共点A，B，并求|AB|的取值范围．（3）若a＞b＞c，g（x）=2ax2+（a+b）x+b，求证：x≤-√3时，恒有f（x）＞g（x）．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      设f（x）=3ax2+2bx+c，且a+b+c=0，，求证：
      （1）若f（0）?f（1）＞0，求证：-2＜
      b
      a
      ＜-1；
      （2）在（1）的条件下，证明函数f（x）的图象与x轴总有两个不同的公共点A，B，并求|AB|的取值范围．
      （3）若a＞b＞c，g（x）=2ax      2+（a+b）x+b，求证：x≤-
      √3
      时，恒有f（x）＞g（x）．

      试题解答

      见解析
      解：（1）若a=0，则b=-c，f（0）?f（1）=c?（3a+2b+c）=-c2≤0与已知矛盾∴a≠0…（2分）
      由f（0）?f（1）＞0，得c（3a+2b+c）＞0
      由条件a+b+c=0消去c，得（a+b）（2a+b）＜0∵a      2＞0∴(1+
      b
      a
      )(2+
      b
      a
      )＜0，∴-2＜
      b
      a
      ＜-1…（4分）
      （2）方程3ax      2+2bx+c=0的判别式△=4（b2-3ac）
      由条件a+b+c=0消去b，得△=4(a      2+c2-ac)=4[(a-
      c
      2
      )2+
      3
      4
      c2]＞0∴方程f（x）=0有实根
      即函数f（x）的图象与x轴总有两个不同的交点A、B．设A（x      1，0），B（x2，0）
      由条件知      x1+x2=-
      2b
      3a
      x1x2=
      c
      3a
      =-
      a+b
      3a
      ∴（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=
      4
      9
      ?
      b2
      a2
      +
      4
      3
      (1+
      b
      a
      )=
      4
      9
      ?(
      b
      a
      +
      3
      2
      )2+
      1
      3
      ∵-2＜
      b
      a
      ＜-1∴
      1
      3
      ≤(x1-x2)2＜
      4
      9
      ∴
      √3
      3
      ≤|x1-x2|＜
      2
      3
      即
      √3
      3
      ≤|AB|＜
      2
      3
      …（9分）
      （3）设h（x）=f（x）-g（x）=ax      2+（b-a）x+c-b=ax2-（2a+c）x+a+2c∵a＞b＞c，a+b+c=0∴a＞0且a＞-a-c＞c
      即-2＜
      c
      a
      ＜-
      1
      2

      又h（x）的对称轴为x=
      2a+c
      2a
      =1+
      c
      2a
      ＞0
      ∴x≤-
      √3
      时，h(x)≥3a+
      √3
      (2a+c)+a+2c=(2+
      √3
      )(2a+c)＞0
      即x≤-
      √3
      时，f（x）＞g（x）恒成立…（14分）
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