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  • 已知函数f（x）=x2，g（x）=x-1．（1）若不等式f（x）＞bg（x）对任意的实数x恒成立，求实数b的取值范围；（2）设F（x）=f（x）-mg（x）+1-m-m2，且|F（x）|在[0，1]上单调递增，求实数m的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=x2，g（x）=x-1．
      （1）若不等式f（x）＞bg（x）对任意的实数x恒成立，求实数b的取值范围；
      （2）设F（x）=f（x）-mg（x）+1-m-m      2，且|F（x）|在[0，1]上单调递增，求实数m的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵f（x）=x2，g（x）=x-1．
      ∴若不等式f（x）＞bg（x）对任意的实数x恒成立，
      等价为x      2-bx+b＞0恒成立，
      ∴△=b      2-4b＜0，
      解得0＜b＜4，
      ∴实数b的取值范围是（0，4）；
      （2）由题设得F（x）=x      2-mx+1-m2，
      对称轴方程为x=
      m
      2
      ，△=m2-4（1-m2）=5m2-4，
      由于|F（x）|在[0，1]上单调递增，则有：
      ①当△≤0，即-
      2
      √5
      5
      ≤m≤
      2
      √5
      5
      时，有
      {
      m
      2
      ≤0
      -
      2
      √5
      5
      ≤m≤
      2
      √5
      5
      ，
      解得-
      2
      √5
      5
      ≤m≤0，
      ②当△＞0，即m＜-
      2
      √5
      5
      或m＞
      2
      √5
      5
      时，
      设方程F（x）=0的根为x      1，x2（x1＜x2），
      若m＞
      2
      √5
      5
      ，则
      m
      2
      ＞
      √5
      5
      ，
      有
      {
      m
      2
      ≥1
      x1＜0
      F(0)=1-m2＜0
      ，
      解得m≥2；
      若m＜-
      2
      √5
      5
      ，即
      m
      2
      ＜-
      √5
      5
      ，
      有x      1＜0，x2≤0；
      得F（0）=1-m      2≥0，
      即-1≤m≤1，
      ∴-1≤m＜-
      2
      √5
      5
      ，
      综上所述，实数m的取值范围是[-1，0]∪[2，+∞）．
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