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  • （1）已知不等式2x-1＞m（x2-1）对任意m∈[-2，2]恒成立，求x的取值范围；（2）是否存在m使得不等式2x-1＞m（x2-1）对任意x∈[-2，2]恒成立．若存在，试求出m的取值范围；若不存在，试说明理由．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      （1）已知不等式2x-1＞m（x2-1）对任意m∈[-2，2]恒成立，求x的取值范围；
      （2）是否存在m使得不等式2x-1＞m（x      2-1）对任意x∈[-2，2]恒成立．若存在，试求出m的取值范围；若不存在，试说明理由．

      试题解答

      见解析
      解：（1）不等式2x-1＞m（x2-1）即2x-1-m（x2-1）＞0，
      令f（m）=2x-1-m（x      2-1）=（1-x2）m+2x-1，m∈[-2，2]，
      要使原不等式对任意m∈[-2，2]恒成立，即f（m）＞0对m∈[-2，2]都成立，
      所以
      {
      f(-2)＞0
      f(2)＞0
      即
      {
      2x2+2x-3＞0
      2x2-2x-1＜0
      即
      {
      x＞
      -1+
      √7
      2
      或x＜
      -1-
      √7
      2
      1-
      √3
      2
      ＜x＜
      1+
      √3
      2
      ，
      所以
      √7
      -1
      2
      ＜x＜
      √3
      +1
      2
      ，
      即x的取值范围是（
      √7
      -1
      2
      ，
      √3
      +1
      2
      ）．
      （2）假设存在m使得不等式2x-1＞m（x      2-1）对任意x∈[-2，2]恒成立，
      令f（x）=2x-1-m（x      2-1）=-mx2+2x+m-1，x∈[-2，2]，
      要使原不等式对任意x∈[-2，2]恒成立，即f（x）＞0对x∈[-2，2]都成立，
      当m=0时，f（x）=2x-1，在-2≤x≤
      1
      2
      时，f（x）≤0，在
      1
      2
      ＜x＜2时，f（x）＞0，
      故不满足题意，舍去；
      当m≠0时，f（x）只需满足下式：
      {
      -m＞0，(m＜0)
      1
      m
      ≤-2
      f(-2)＞0
      或
      {
      -m＞0
      -2＜
      1
      m
      ＜2
      4+4m(m-1)＜0
      或
      {
      -m＜0，(m＞0)
      f(2)＞0
      f(-2)＞0
      ，
      即
      {
      m＜0
      -
      1
      2
      ≤m＜0
      m＜-
      5
      3
      或
      {
      m＜0
      -2＜
      1
      m
      ＜2
      m∈?
      或
      {
      m＞0
      m＜1
      m＜-
      5
      3
      ，
      解得结果为空集，故不存在m使得不等式2x-1＞m（x      2-1）对任意x∈[-2，2]恒成立．
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