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  • 已知a为实数，函数f（x）=x3+ax2+32x+32a．（1）若函数f（x）的图象上有与x轴平行的切线，求a的取值范围；（2）若f'（-1）=0，对任意x1，x2∈[-1，0]，不等式|f（x1）-f（x2）|≤m恒成立，求m的最小值．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知a为实数，函数f（x）=x3+ax2+
      3
      2
      x+
      3
      2
      a．
      （1）若函数f（x）的图象上有与x轴平行的切线，求a的取值范围；
      （2）若f'（-1）=0，对任意x      1，x2∈[-1，0]，不等式|f（x1）-f（x2）|≤m恒成立，求m的最小值．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵f(x)=x3+ax2+
      3
      2
      x+
      3
      2
      a∴f′(x)=3x2+2ax+
      3
      2
      ．
      由题意知f'（x）=0有实数解．∴△=4a      2-4×3×
      3
      2
      ≥0
      ∴      a2≥
      9
      2
      ，即a≤-
      3
      √2
      2
      或a≥
      3
      √2
      2
      ．故a∈(-∞，-
      3
      √2
      2
      ]∪[
      -3
      √2
      2
      ，+∞)．
      （2）∵f'（-1）=0∴3-2a+
      3
      2
      =0即a=
      9
      4
      .f′(x)=3x2+2ax+
      3
      2
      =3(x+
      1
      2
      )(x+1)，
      令f'（x）=0得      x1=-
      1
      2
      ， x2=-1．
      当x∈[-1，0]时，f(-1)=
      25
      8
      ， f(-
      1
      2
      )=
      49
      16
      ， f(0)=
      27
      8

      ∴f(x)      max=f(0)=
      27
      8
      ， f(x)min=f(-
      1
      2
      )=
      49
      16
      ．
      故x      1，x2∈[-1，0]时，|f(x1)-f(x2)|≤f(x)max-f(x)min=
      5
      16

      所以m≥
      5
      16
      ，即m的最小值为
      5
      16
      ．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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