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  • 已知函数f（x）=ln（ex+a）（a为常数）是R上的奇函数，函数g（x）=λf（x）+sinx是区间[-1，1]上的减函数（1）求a的值（2）讨论关于x的方程lnxf(x)=x2-2ex+m的根的函数（3）若g（x）＜t2+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立，求t的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=ln（ex+a）（a为常数）是R上的奇函数，函数g（x）=λf（x）+sinx是区间[-1，1]上的减函数
      （1）求a的值
      （2）讨论关于x的方程
      lnx
      f(x)
      =x2-2ex+m的根的函数
      （3）若g（x）＜t      2+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立，求t的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵函数f（x）=ln（ex+a）是实数集R上的奇函数，
      ∴f（0）=0，即ln（1+a）=0，
      ∴a=0．
      （2）当a=0时，f（x）=ln（e      x+a）=f（x）=lnex=x，
      由程
      lnx
      f(x)
      =x2-2ex+m得
      ln?x
      x
      =x2-2ex+m，
      令f      1（x）=
      ln?x
      x
      ，f2（x）=x2-2ex+m，
      ∵f′      1（x）=
      1-lnx
      x2
      ，
      当x∈（0，e）时，f′      1（x）＞0，
      ∴f      1（x）在（0，e]上为增函数；
      当x∈（e，+∞）时，f′      1（x）＜0，
      ∴f      1（x）在（e，+∞）上为减函数；
      ∴当x=e时，[f      1（x）]max=f1（e）=
      1
      e
      ．
      而f      2（x）=（x-e）2+m-e2，
      ∴当m-e      2＞
      1
      e
      时，即m＞e2+
      1
      e
      时方程无解．
      当m-e      2=
      1
      e
      时，即m=e2+
      1
      e
      时方程有一解．
      当m-e      2＜
      1
      e
      时，即m＜e2+
      1
      e
      时方程有两解．
      （3）由题意可得：g（x）=λx+sinx，
      ∴g'（x）=λ+cosx，由函数的单调性转化为：g'（x）=λ+cosx≤0在[-1，1]上恒成立，
      进而得到λ≤-1，g（x）      max=-λ-sin1，
      再转化为-λ-sin1＜t      2+λt+1在λ∈（-∞，-1]上恒成立．
      ∴（t+1）λ+t      2+sin1+1＞0在λ∈（-∞，-1]上恒成立．
      令h（λ）=（t+1）λ+t      2+sin1+1，（λ≤-1）
      则
      {
      t+1＜0
      -t-1+t2+sin1+1＞0
      ，
      ∴
      {
      t+1＜0
      t2-t+sin1＞0
      ，
      而t＜-1时，t      2-t+sin1＞0恒成立，
      经检验t=-1也对，
      ∴t≤-1．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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