已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数．当a，b∈[-1，1]，且a+b≠0时，有f(a)+f(b)a+b＞0成立．（Ⅰ）判断函f（x）的单调性，并证明；（Ⅱ）若f（1）=1，且f（x）≤m2-2bm+1对所有x∈[-1，1]，b∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

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已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数．当a，b∈[-1，1]，且a+b≠0时，有

f(a)+f(b)

a+b

＞0成立．
（Ⅰ）判断函f（x）的单调性，并证明；
（Ⅱ）若f（1）=1，且f（x）≤m²-2bm+1对所有x∈[-1，1]，b∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

试题解答

见解析

解：（Ⅰ）f（x）在[-1，1]上为增函数
证明：设x₁，x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，在

f(a)+f(b)

a+b

＞0中，令a=x₁，b=-x₂，有

f(x₁)+f(-x₂)

x₁-x₂

＞0，
∵x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，又∵f（x）是奇函数，
∴f（-x₂）=-f（x₂），∴

f(x₁)-f(x₂)

x₁-x₂

＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
故f（x）在[-1，1]上为增函数…（6分）
（Ⅱ）∵f（1）=1 且f（x ）在[-1，1]上为增函数，对x∈[-1，1]，有f（x）≤f（1）=1．
由题意，对所有的x∈[-1，1]，b∈[-1，1]，有f（x）≤m²-2bm+1恒成立，
应有m²-2bm+1≥1?m²-2bm≥0．记g（b）=-2mb+m²，对所有的b∈[-1，1]，g（b）≥0成立．
只需g（b）在[-1，1]上的最小值不小于零…（8分）
若m＞0时，g（b）=-2mb+m²是减函数，故在[-1，1]上，b=1时有最小值，
且[g（b）]_最小值=g（1）=-2m+m²≥0?m≥2；
若m=0时，g（b）=0，这时[g（b）]_最小值=0满足题设，故m=0适合题意；
若m＜0时，g（b）=-2mb+m²是增函数，故在[-1，1]上，b=-1时有最小值，
且[g（b）]_最小值=g（-1）=2m+m²≥0?m≤-2．
综上可知，符合条件的m的取值范围是：m∈（-∞，-2]∪{0}∪[2，+∞）．

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必修1 人教A版单选题高中数学

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