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  • 设函数f（x）=kx2-kx-6+k．（1）若对于k∈[-2，2]，f（x）＜0恒成立，求实数x的取值范围．（2）若对于x∈[1，2]，f（x）＜0恒成立，求实数k的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      设函数f（x）=kx2-kx-6+k．
      （1）若对于k∈[-2，2]，f（x）＜0恒成立，求实数x的取值范围．
      （2）若对于x∈[1，2]，f（x）＜0恒成立，求实数k的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）设f（x）=k（x2-x+1）-6=g（k），
      则g（k）是关于k的一次函数，且一次项系数为x      2-x+1…（2分）
      法1、∵      x2-x+1=(x-
      1
      2
      )2+
      3
      4
      ＞0∴g（k）在[-2，2]上递增．…（4分）
      ∴g（k）＜0?g（2）=2（x      2-x+1）-6＜0∴解得x的取值范围为：-1＜x＜2…（6分）
      法2、依题只须
      {
      g(2)=2x2-2x-4＜0
      g(-2)=-2x2+2x-8＜0
      ?
      {
      -1＜x＜2
      x2-x+4＞0(恒成立)
      ∴-1＜x＜2
      （2）法1、要使f（x）=k（x      2-x+1）-6＜0在x∈[1，2]上恒成立
      则只须k＜
      6
      x2-x+1
      在x∈[1，2]上恒成立；…（8分）
      而当x∈[1，2]时：
      6
      x2-x+1
      =
      6
      (x-
      1
      2
      )2+
      3
      4
      ≥
      6
      22-2+1
      =2…（10分）
      ∴k＜2…（12分）
      法2、∵f(x)=k(x-
      1
      2
      )2+
      3
      4
      k-6＜0在x∈[1，2]上恒成立
      ∴
      {
      k＞0
      f(x)max=f(2)=3k-6＜0
      或
      {
      k＜0
      f(x)max=f(1)=k-6＜0
      或
      {
      k=0
      f(x)=-6＜0

      综上解得：k＜2
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