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设函数f(x)的定义域为D,若存在x0∈D,使f(x0)=x0成立,则称以(x0,x0)为坐标的点为函数f(x)图象上的不动点.(1)若函数f(x)=3x+ax+b图象上有两个关于原点对称的不动点,求a,b应满足的条件;(2)在(1)的条件下,若a=8,记函数f(x)图象上的两个不动点分别为A、B,点M为函数图象上的另一点,且其纵坐标yM>3,求点M到直线AB距离的最小值及取得最小值时M点的坐标;(3)下述命题“若定义在R上的奇函数f(x)图象上存在有限个不动点,则不动点的有奇数个”是否正确?若正确,给出证明,并举一例;若不正确,请举一反例说明.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
设函数f(x)的定义域为D,若存在x
0
∈D,使f(x
0
)=x
0
成立,则称以(x
0
,x
0
)为坐标的点为函数f(x)图象上的不动点.
(1)若函数f(x)=
3x+a
x+b
图象上有两个关于原点对称的不动点,求a,b应满足的条件;
(2)在(1)的条件下,若a=8,记函数f(x)图象上的两个不动点分别为A、B,点M为函数图象上的另一点,且其纵坐标y
M
>3,求点M到直线AB距离的最小值及取得最小值时M点的坐标;
(3)下述命题“若定义在R上的奇函数f(x)图象上存在有限个不动点,则不动点的有奇数个”是否正确?若正确,给出证明,并举一例;若不正确,请举一反例说明.
试题解答
见解析
解:(1)若点(x
0
,x
0
)是不动点,则
3x
0
+a
x
0
+b
=x
0
,
即x
0
2
+(b-3)x
0
-a=0(1分)
由题意方程有两绝对值相等,符号相反的根,∴b-3=0,且-a<0
即:b=3,且a>0.…(3分)
由x
0
≠-b知,a≠9,∴b=3,a>0且a≠9.…(5分)
(2)当a=8时,由题意f(x)=
3x+8
x+3
.直线AB的方程是y=x.…(6分)
设点M(x,y)到直线y=x的距离为d,则d=
|x-y|
√
2
=
1
√
2
|
8-3y
y-3
-y|=
1
√
2
|
8-y
2
y-3
|=
√
2
2
?
y
2
-9+1
y-3
=
√
2
2
[(y+3)+
1
y-3
]
=
√
2
2
[(y-3)+
1
y-3
+6]≥4
√
2
…(9分)
当且仅当y-3=
1
y-3
即y=4时,不等式取等号,
此时x=-4,M(-4,4).…(10分)
(3)命题正确…(11分)
由f(x)是奇函数,∴f(-x)=f(x),取x=0,得f(0)=0,
即(0,0)为函数的不动点.…(12分)
如果f(x)除0外还有不动点(x
1
,x
1
),x
1
≠0,则不动点f(x
1
)=x
1
又∵f(-x
1
)=-f(x
1
)=-x
1
,∴(-x
1
,-x
1
)也是函数的不动点.
∴若定义在R上的奇函数f(x)图象上存在有限个不动点,则不动点的有奇数个.(13分)
例f(x)=x
3
.…(14分)
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