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  • 若不等式√x+√y≤k√2x+y对于任意正实数x，y成立，求k的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      若不等式
      √x
      +
      √y
      ≤k
      √2x+y
      对于任意正实数x，y成立，求k的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解法一：显然k＞0．（
      √x
      +
      √y
      ）2≤k2（2x+y）?（2k2-1）x-2
      √xy
      +（k2-1）y≥0对于x，y＞0恒成立．两边同除以y得（2k2-1）
      x
      y
      -2
      √
      x
      y
      +（k2-1）≥0
      令t=
      √
      x
      y
      ＞0，则得f（t）=（2k2-1）t2-2t+（k2-1）≥0对一切t＞0恒成立．
      当2k      2-1≤0时，不等式不能恒成立，故2k2-1＞0．
      此时当t=
      1
      2k2-1
      时，f（t）取得最小值
      1
      2k2-1
      -
      2
      2k2-1
      +k2-1=
      2k4-3k2
      2k2-1
      =
      k2(2k2-3)
      2k2-1
      ．
      当2k      2-1＞0且2k2-3≥0，即k≥
      √6
      2
      时，不等式恒成立，且当x=4y＞0时等号成立．
      ∴k∈[
      √6
      2
      ，+∞）．
      解法二：显然k＞0，故k      2≥
      (
      √x
      +
      √y
      )2
      2x+y
      =
      x+2
      √xy
      +y
      2x+y
      ，令t=
      √
      x
      y
      ＞0，，则k2≥
      t2+2t+1
      2t2+1
      =
      1
      2
      （1+
      4t+1
      2t2+1
      ）．2t2+1
      令u=4t+1＞1，则t=
      u-1
      4
      ，
      4t+1
      2t2+1
      =
      8u
      u2-2u+9
      只要求s（u）=
      8u
      u2-2u+9
      的最大值．
      s（u）=
      8
      u+
      9
      u
      -2
      ≤
      8
      2
      √u?
      9
      u
      -2
      =2，于是
      1
      2
      （1+
      4t+1
      2t2+1
      ）≤
      1
      2
      （1+2）=
      3
      2
      ．
      ∴k      2≥
      3
      2
      ，即k≥
      √6
      2
      时，不等式恒成立（当x=4y＞0时等号成立）．
      又：令s（t）=
      4t+1
      2t2+1
      ，则s′（t）=
      8t2+4-4t(4t+1)
      (2t2+1)2
      =
      -8t2-4t+4
      (2t2+1)2
      ，t＞0时有驻点t=
      1
      2
      ．且在0＜t＜
      1
      2
      时，s′（t）＞0，在t＞
      1
      2
      时，s′（t）＜0，即s（t）在t=
      1
      2
      时取得最大值2，此时有k2≥
      1
      2
      （1+s（
      1
      2
      ））=
      3
      2
      ．
      解法三：由Cauchy不等式，（
      √x
      +
      √y
      ）2≤（
      1
      2
      +1）（2x+y）．
      即（
      √x
      +
      √y
      ）≤
      √6
      2
      √2x+y
      对一切正实数x，y成立．
      当k＜
      √6
      2
      时，取x=
      1
      4
      ，y=1，有
      √x
      +
      √y
      =
      3
      2
      ，而k
      √2x+y
      =k
      √6
      2
      ＜
      √6
      2
      ×
      √6
      2
      =
      3
      2
      ．即不等式不能恒成立．
      而当k≥
      √6
      2
      时，由于对一切正实数x，y，都有
      √x
      +
      √y
      ≤
      √6
      2
      √2x+y
      ≤k
      √2x+y
      ，故不等式恒成立．
      ∴k∈[
      √6
      2
      ，+∞）．
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