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  • 已知函数f(x)=lnxx（1）求f（x）的单调区间；（2）若关于x的不等式lnx＜mx对一切x∈[a，2a]（a＞0）都成立，求m范围；（3）某同学发现：总存在正实数a，b（a＜b），使ab=ba，试问：他的判断是否正确；若正确，请写出a的范围；不正确说明理由．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f(x)=
      lnx
      x

      （1）求f（x）的单调区间；
      （2）若关于x的不等式lnx＜mx对一切x∈[a，2a]（a＞0）都成立，求m范围；
      （3）某同学发现：总存在正实数a，b（a＜b），使a      b=ba，试问：他的判断是否正确；若正确，请写出a的范围；不正确说明理由．

      试题解答

      见解析
      解：（1）定义域为（0，+∞），f′(x)=
      1-lnx
      x2
      ，令 f′(x)=
      1-lnx
      x2
      =0，则x=e，
      当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

      ∴f（x）的单调递增区间为（0，e）；f（x）的单调递减区间为（e，+∞）．（4分）

      （2）∵不等式lnx＜mx对一切x∈[a，2a]（其中a＞0）都成立，
      ∴分离m得，m＞
      lnx
      x
      对一切x∈[a，2a]（其中a＞0）都成立，
      ∴下面即求 f(x)=
      lnx
      x
      在x∈[a，2a]（其中a＞0）上的最大值；
      ∵a＞0，由（2）知：f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减．
      当2a≤e时，即 0＜a≤
      e
      2
      时，f（x）在[a，2a]上单调递增，∴f(x)max=f(2a)=
      ln2a
      2a
      ；
      当a≥e时，f（x）在[a，2a]上单调递减，∴f(x)      max=f(a)=
      lna
      a
      ；
      当a＜e＜2a时，即
      e
      2
      ＜a＜e时，f（x）在[a，e]上单调递增，f（x）在[e，2a]上单调递减，
      ∴f(x)      max=f(e)=
      1
      e
      ．
      综上得：
      当 0＜a≤
      e
      2
      时，m＞f(2a)=
      ln2a
      2a
      ；
      当a≥e时，m＞f(a)=
      lna
      a
      ；
      当
      e
      2
      ＜a＜e时，m＞f(e)=
      1
      e
      ．（12分）
      （3）正确，a的取值范围是1＜a＜e．（16分）
      注：理由如下，考虑函数f（x）的大致图象．
      当x→+∞时，f（x）→0．
      又∵f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，∴f（x）的图象如图所示．

      ∴总存在正实数a、b且1＜a＜e＜b，使得f（a）=f（b），
      即
      lna
      a
      =
      lnb
      b
      ，即ab=ba，此时1＜a＜e．
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